2020 Fiscal Year Annual Research Report
Iwasawa theory of iterated Galois extensions
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17K05167
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| Research Institution | Nagoya Institute of Technology |
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Principal Investigator |
水澤 靖 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (60453817)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山岸 正和 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (40270996)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 岩澤理論 / ガロア拡大 / 反復拡大 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当研究課題の主な目的は、制限分岐ガロア拡大を反復ガロア拡大として構成し、その高次の非可換ガロア拡大における数論的不変量の基本性質を、非可換岩澤理論と樹木ガロア表現の視点から解明することである。期間延長した当該年度の目標は、これまでの理論的考察の精緻化に基づいて予想を定式化するとともに、計算機による検証実験を行うことであった。そこで計算機環境を整え、前年度までに得られた研究成果の具体例を再確認した。それらの具体例は2冪次拡大ばかりではあるが、Chebychev多項式や一般Rikuna多項式、Lattes写像など、素性のよい有理写像に由来する。それらの有理写像による樹木ガロア表現の像としては、小さなp進Lie拡大が現れる一方で、Greenberg予想型の現象が必ずしも起こるとは限らない。その考察の結論として、非可換反復拡大でのGreenberg予想型の現象は、1次元p進Lie拡大（総実代数体の円分Zp拡大など）での古典的現象を反映するものであると推測されるに至った。一方、p上分岐がZp拡大方向のみに制限された樹木ガロア表現の像は、とても小さいと推測される。これらの推測をふまえると、中間Zp拡大上馴分岐副p拡大は反復構造を持ち難く、総実ならp進Lie部分拡大は高々1次元であろうと予想される。この予想の解明に向けて、中間Zp拡大上制限分岐副p拡大のガロア群の構造定理（Koch型群表示）を完成させることができ、そのガロア群がmild副p群である（特にp進Lie群でない）新しい例や、Fukuda-Komatsuの定理（Greenberg予想の判定法）の別証明を伴う拡張なども得ることができた。この研究成果は、モロッコの若手研究者との共同研究として発表した。
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