新しい簡約理論による格子不変量の計算アルゴリズムの研究

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05170
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 渡部 隆夫 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30201198)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 線形代数群 / 数論的部分群 / 基本領域

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は、有理数体上定義された一般線形群等について、その算術商の基本領域の境界における０次元セルを決定するアルゴリズムを開発することである。平成２９年度の研究により、一般線形群の算術的最小関数から定まる最小点集合の計算アルゴリズムを見出すことができたので、平成３０年度の研究では、当初の計画どおり低次元の場合にリシュコフ領域の境界面の定義イデアルの計算に取り組んだ。４次の対称行列の空間において、２-パーフェクトであることがわかっている正定値対称行列が５個ある。その各々に対し, 先のアルゴリズムによりその最小点集合が完全に決定できる。境界面の計算の方針は、５個の中からふたつを取り出し、それらの最小点集合の共通部分を求め，この共通部分を最小点集合に含むような正定値対称行列全体を与える定義方程式を求めるというものである。具体的には、１０変数４次式の連立方程式系の解空間の決定になる。当年度はこの計算を行ったが、最終的な決定には至らなった。
研究成果の公開について、大学院生のリー君が, ブラウン大学の ICERM(The Institute for Computational and Experimental Research in Mathematics) で平成３０年４月２３日 - ２７日に開催された研究集会 Point Configurations in Geometry, Physics and Computer Science に参加し、代数体上の一般線形群の新しい簡約理論についてポスター発表を行った。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

低次元の場合のリシュコフ領域の境界面の定義イデアルの計算が終了せず、当初考えていたように進展しなかった。

Strategy for Future Research Activity

リシュコフ領域の境界面の定義イデアルの計算について、最小点集合から直接的に計算する素朴な方法では、計算機を使用した計算でも時間がかかりすぎてうまくいかないので、何らかの制約条件を付けて計算量を抑える必要があると考えている。

Causes of Carryover

平成３０年度の研究において必要と見込んでいた経費が、当初の予定より若干低く抑えられため、少額の残額が生じた。