2019 Fiscal Year Research-status Report

カトック・サルナック型対応とその応用

Research Project

Project/Area Number	17K05175
Research Institution	The University of Tokushima
Principal Investigator	水野義紀徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 准教授 (30546388)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2021-03-31
Keywords	類数 / アイゼンシュタイン級数 / ピーターソン・ノルム / ディリクレ級数 / モジュラー形式
Outline of Annual Research Achievements	1．研究論文Rankin-Selberg convolutions of noncuspidal half-integral weight Maass forms in the plus spaceがNagoya Mathematical Journalに出版された。 2. ヒルツェブルフ和と実及び虚二次体の類数に関する合同式を証明した。Chen-Guoによる最近の結果を精密にし、そこで提示された予想を解いたことになる。プレプリントCongruences between class numbers of quadratic fields and Hirzebruch sumsを作成して学術誌に投稿した。 3. 金子昌信氏との共著論文Genus character L-functions of quadratic orders and class numbersがJournal of the London Mathematical Societyに受理された。この内容について東北大学で集中講義を行い、講義ノートを作成した。 4．アイゼンシュタイン級数の正規化ピーターソン・ノルムの値を確定し、コーネン・ザギエ公式をアイゼンシュタイン級数の場合に定式化した成果を東北大学談話会で口頭発表した。その内容のプレプリントは２度目の軽微な改訂要請を受け改訂中である。出版に近づいていると考えてよいであろう。 5．以上の他、２つのプレプリントを改訂した。それぞれRoland Matthes氏、林田秀一氏との共同研究である。関連して、3次元上半空間のアイゼンシュタイン級数の増大度についての検討、3次元上半空間のマース形式の周期から得られるディリクレ級数の解析接続と関数等式を得た。応用としてガウス数体上の半整数2次エルミート行列の跡から構成されるディリクレ級数(三井のディリクレ級数)の解析接続を考察した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 論文が順調に掲載・受理され、作成できていることが第一に挙げられる。研究実績2で述べた類数の合同は一般判別式の2元2次形式に関する新しい成果であり、次年度予定課題に関わる成果が得られた。研究実績5で述べた3次元上半空間のマース形式の周期から得られるディリクレ級数の解析接続と関数等式、及び半整数2次エルミート行列の三井ディリクレ級数の解析接続の考察は、カトック・サルナック対応の典型的な応用と言える。研究推進のための細かな成果・多くの情報が着実に集まりつつある。
Strategy for Future Research Activity	論文改訂に時間をかけた分だけ整理が進み、また研究推進のための細かな成果も得られており、それらを集約していく。研究実績2と3は、類似の発想の産物であり、その考え方はさらなる応用が期待できる。研究実績5に述べた、カトック・サルナック対応の応用については、完成に近づいていると考えているが、細部（特に周期積分の評価）を再確認する必要がある。研究実績5に述べたプレプリントのひとつは、テータ・ブロックのフーリエ係数に応用があると思われるので、その方面も検討したい。当初の予定以上に興味ある広がりが見えつつある。これまでの成果を論文にまとめながら再計算・再確認を行っていく。
Causes of Carryover	コロナウィルスのため出張が取りやめとなったことが大きい。次年度分の助成金は次年度使用額と合わせて、研究発表や情報収集に必要な研究集会参加旅費と図書費、論文作成に必要となる印刷機器整備費、パソコン関係の物品費に使用する。