2019 Fiscal Year Annual Research Report
Study of trace formulas, automorphic forms and zeta functions by using pseudo-cusp forms
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17K05178
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
権 寧魯 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (30302508)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ワイルの法則 / ヒルベルトモジュラー群 / セルバーグゼータ関数 / 高階導関数の零点分布 / マーラー測度 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
実二次体のヒルベルトモジュラー群に対するヒルベルト・マース形式の存在に関する固有値分布の「ワイルの法則」の精密化について研究した。ヒルベルト・マース形式のウェイトとデデキントゼータの特殊値で決まる主要項は以前に筆者によって得られていたが，今回は漸近公式に現れる第2項を新たに決定することに成功した。第2項はタウバー型定理から直接導くことは出来ないことに注意する。得られた第2項はウェイトには依存せず，実二次体の単数基準のみに依存することが新たに分かった。
併せて上記の場合の「ワイルの法則」の“導関数版”ともいえる、ヒルベルトモジュラー曲面に対するセルバーグゼータ関数の導関数の零点分布について研究を行い、新しい結果を得た。セルバーグゼータ関数の導関数の零点分布を研究することは、ヒルベルトモジュラー曲面上のラプラシアンのスペクトル、固有空間の次元評価に関連して重要である。今回、この導関数が虚軸上に零点を持ちうることを示し、その零点の個数を評価することによって、以前得ていた結果より精密な結果を得た。また、この導関数の零点について、零点の実部の臨界線からの距離の分布についての結果も得た。
上記以外では、２変数と３変数のローラン多項式に対するマーラー測度のある種の“双対”を定義し、実例をいくつか計算した。この“双対測度”は０になる場合が多いが、いくつかの多項式に対しては非零になり、ゼータ関数の特殊値でかけることがわかった。数論的応用や双曲多様体の不変量との関係を調べることはこれからの課題である。
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