2017 Fiscal Year Research-status Report
跡公式とゼータ関数を用いた素測地線とスペクトルの分布に関する研究
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17K05181
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| Research Institution | University of the Ryukyus |
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Principal Investigator |
橋本 康史 琉球大学, 理学部, 准教授 (30452733)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | セルバーグ跡公式 / length spectrum / セルバーグゼータ関数 / 2次形式の類数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまでに、モジュラー群の合同部分群で与えられる非コンパクト数論的リーマン面に関する length spectrum とその重複度については、それらが不定値2元2次形式の単数と類数を用いて記述されることが知られている（Sarnak, 1981, 研究代表者, 2007 etc）。さらに、重複度の類数を用いた記述を利用することで、重複度の任意のべき和に関する漸近公式が得られている（Bogomolny-Leyvraz-Schmit, 1997, Peter, 2002, Lukianov, 2007, 研究代表者, 2013）。平成29年度はこれらを非コンパクトで数論的なリーマン面の中で、「合同な」ものに拡張した。
非コンパクトで数論的なリーマン面を与える基本群は、実はモジュラー群と commensurable なものしかなく、さらに、それらの中で極大なものはモジュラー群の合同部分群のひとつを指数2の正規部分群として含むことが知られている。平成29年度の研究として取り扱った、「合同な」リーマン面とは、このような極大な非余コンパクトな数論的群の「合同」部分群で与えられるリーマン面のことであり、モジュラー群の合同部分群との類似性から、length spectrum とその重複度が、同様に不定値2元2次形式の単数と類数を用いて記述できることがわかった。加えて、重複度の任意のべき和についても、既存の研究で得られたものと同様の漸近公式を得ることができた。
本研究成果については、すでに研究集会で報告済みであり、近い将来、国際学術誌に投稿する予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成29年度の研究計画は、これまでモジュラー群の合同部分群に対して得られていた length spectrum とその重複度の「数論的な」表示と重複度のべき和に関する漸近公式を、より一般的な基本群に対して拡張することだった。実際にこの年度では、非余コンパクト数論的な基本群の中で「合同な」ものに対して、length spectrum とその重複度の「数論的な」表示と重複度のべき和に関する漸近公式を導くことに成功している。この成果は、単純に既存の成果の拡張、というだけでなく、モジュラー群とその部分群に関する研究が、どのように非余コンパクト数論的な群へ拡張されるかを体系的に記したものであるとも考えることができる。
以上の理由から、現在までの進捗状況を「おおむね順調に進展している」と自己評価する。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度の研究では、既存の length spectrum に関する結果をモジュラー群の合同部分群から、一般の非余コンパクトで数論的な基本群の「合同な」部分群に拡張した。この研究では、
非余コンパクトで数論的な基本群がモジュラー群の部分群のひとつを指数2の正規部分群としてもつことを利用している。このことから、これまでに得られた結果をモジュラー群の「合同でない」部分群に拡張することができれば、非余コンパクトで数論的な基本群すべてに対して、同様の成果を得られることが期待できる。そのため、今後は合同でない部分群について、
length spectrum の研究をすすめる。ただし、合同でない部分群の構造を一般的にわかりやすい形で記述することは簡単でないため、当面はサイクロイド群のような比較的わかりやすい非合同部分群について調べ、その成果を拡張していく。
加えて、length spectrum に関する研究で得られた成果を利用して、セルバーグゼータ関数やスペクトルゼータ関数の解析性や、具体的な値の評価も行う。
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