Research on distributions of prime geodesics and spectrum using trace formula and zeta functions

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 17K05181
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: University of the Ryukyus
• Principal Investigator: Hashimoto Yasufumi 琉球大学, 理学部, 准教授 (30452733)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: セルバーグ跡公式 / セルバーグゼータ関数 / 双曲多様体 / length spectrum / ラプラシアンのスペクトル

Outline of Final Research Achievements

There are deep connections between the distributions of the spectra of the Laplacian and the prime geodesics of hyperbolic manifolds of finite volume derived from discrete subgroups of a semi-simple Lie group of real rank one. The aim of this study is to characterize the corresponding manifolds by studying the two distributions in relation to each other using Selberg's trace formula. During the course of this study, we evaluated the values of the Selberg zeta functions in the non-absolute convergence region for various arithmetic groups, including congruence subgroups and co-compact groups derived from indefinite quaternion algebras. We also generalized and extended the universality theorems of the Selberg zeta function from existing researches.

Free Research Field

数物系科学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

セルバーグゼータ関数については、リーマンゼータ関数との類似性が強調されることが多いが、有理型関数としての位数や非自明零点の分布、素元の分布などで大きな相違があるため、従来の解析数論的な手法では解析が必ずしも簡単ではないことが少なくない。本研究では、既知のセルバーグゼータ関数の値の評価や、値分布の普遍性に関する結果を改良することで、この研究分野における素元の分布を丁寧に解析することの重要性の一端に触れることができたと考える。