2017 Fiscal Year Research-status Report
ゼータ関数・テータ関数の加重・多重平均化―定式化と挙動解明―
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17K05182
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
桂田 昌紀 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90224485)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | asymptotic expansion / zeta-function |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1) Lerch ゼータ関数の変数に関する積分変換の漸近的挙動：研究計画調書に記した，Lerch ゼータ関数の変数に関する，Laplace-Mellin 型，Riemann-Liouville 型の積分変換，及びそれら積分変換の種々の iteration(s) に対して，本研究代表者は，積分変換の
pivotal parameter $z$ が，適切な扇状領域内を，$z\to\0$ となるとき $z$ の増大オーダーの，また $z\to\infty$ となるとき $z$ の減少オーダーの，それぞれ $z$ に関する完全漸近展開公式を導くことに成功した．成果は現在，論文として纏められ，欧文学術雑誌に投稿中である；
2) 一般化された Eisenstein 級数の漸近的挙動と，Weierstra{\ss} 楕円関数論への応用：本研究課題と密接に関連するテーマとして，上記 i) と同時並行的に，本研究代表者は，一般化された Eisenstein 級数に付随するパラメタ $z$ が，適切な扇状領域内を $z\to0$ となるとき，$z\to\infty$ となるとき，それぞれの場合について完全漸近展開を導出することに成功した．これらの結果からは，① Riemann ゼータ関数の整数点での特殊値に対する Euler や Ramanujan の公式の種々の一般化や；② 古典的な正則 Eisenstein 級数の種々の変換公式，更には；③ Weierstra{\ss} の楕円 $\wp$ 関数や，そこから派生した，Weierstra{\ss} の $\zeta$，$\sigma$ 関数に関する様々な関数関係式・明示的表示等，非常に多岐に亙る成果を導くことが出来ることが判明している．成果は現在論文として纏められ，現在欧文学術雑誌に投稿準備中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究代表者は，研究計画調書・研究目的・項目 A1) 記載の，Lerch ゼータ関数の Laplace-Mellin 型，Riemann-Liouville 型積分変換の完全漸近展開について，当初の予期していた形の漸近公式を確立することが出来た．現在は，これらの結果の「多変数化」に向けて，必要となる知見の収集・蓄積を行っており，今後のこの方向への研究の展開への見通しはかなり良好な状況にあるといえる．更に、研究目的・項目 A2) 記載の，正則・非正則 Eisenstein 級数の平均化のテーマに関しても，本研究代表者は「平均化」に迄は至っていないものの，かなり広いクラスの一般化された正則 Eisenstein 級数に関して，付随するパラメタ $z$ の複素上半平面内の変動に密接に連携する形の種々の完全漸近展開を確立しており，この展開公式は，その応用面，及び，更なる平均化への探求に向けての大きな潜在的可能性を有していることが判明しつつある．
上述のテーマ A1)；A2) の方向への研究の進捗状況から，仮に，一方のテーマの研究の展開が停滞した場合でも，他のテーマを進捗させることで，本研究課題全体の研究活動が停滞するといった事態を回避できるものと考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
現段階までの研究の展開は概ね研究計画調書に記載の研究 programme に時間発展的にも順当に則って進捗して来ているため，今後も当該研究計画調書を指針として本研究課題の研究を推進したいと考えている．
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| Causes of Carryover |
本研究課題の実際遂行面での time schedule の変更が発生しており，当初計画では最終年度の平成３１年度に開催予定であった比較的大規模な国際研究集会「Diophantine Analysis and Related Fields」を約１年半程年前倒しして，平成２９年度中に開催する事態となったため，会議開催に係る諸経費支出に対処するために，平成３０年度以降の予算を前倒し請求せざるをえないこととなった．なお，平成２９年度経費に関して，国際会議開催に係る経費が当初想定額より安価であったため，次年度（平成３０年度）使用額が発生している．今後，本研究期間終了の平成３１年度末迄は大規模な国際研究集会の開催は見込まれないため，研究経費の使用は経常的な状態に留まるであろう．
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