2017 Fiscal Year Research-status Report
CM型代数曲線の族、多重ガンマ関数、スターク予想、及び関連する数論的諸問題
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17K05183
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
加塩 朋和 東京理科大学, 理工学部数学科, 講師 (10403106)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | スターク予想 / CM周期 / 多重ガンマ関数 / フェルマー曲線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、スターク予想と関連する諸問題に対し「新たな手法」で取り組むことを目標としている。ここで「新たな手法」とは、スターク単数、CM周期、多重ガンマ関数、及びこれらのｐ進類似を同時に用いる手法である。これまで、これらの一つ一つや、二つの関係性は既に調べられてきたが、これらの「新しい組み合わせ方」が、本研究のカギとなっている。特に、平成２９年度においては、いくつかの論文・口頭発表により、以下の研究実績を上げた。
・「総実体上の部分ゼータ関数のｓ＝０での微分値の指数関数での像」をスターク単数と呼ぶ。スターク予想は、スターク単数が、代数性、単数性、相互法則、アーベル拡大性などの「良い性質」をもつことを言っている。このうち、スターク単数の代数性と、CM周期と多重ガンマ関数に関する吉田敬之氏の予想が深く関係することを考察し、また、この予想の精密化を与えた論文が学術誌に掲載された。
・フェルマー曲線に関する古典的な二つの結果（ロールリッヒによる周期積分の明示式と、コールマンによる絶対フロベニウス作用の明示式）を組み合わせることで、円単数上の相互法則の精密化が与えられることを発見し、また、この精密化と、スターク予想との関係を考察した研究結果が、報告集に掲載された。
・スターク単数の代数性とCM周期の単項関係式、及び、スターク単数上の相互法則とｐ新CM周期上の絶対フロベニウス作用が、それぞれ深く関係していることを考察し、各関係を表す明示的な予想式を与えた。また、これらの予想に関し、部分的な結果を証明した。（口頭発表）
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実施計画の段階では「ダスグプタ氏の研究結果と自身の研究結果の比較」を計画として挙げていた。この結果は既にプレプリントとして発表し、雑誌投稿中であるが、まだアクセプトされていない。一方で【研究実績の概要】に書いたように、計画段階では明記できていなかった結果も発表している。総合的に考えて、おおむね順調と考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在プレプリント３編を雑誌投稿中である。まずはこれらのアクセプトを目標とする。またこれらとは別に、以下の内容の論文を準備中である。
これまでの研究成果により、コールマンによるフェルマー曲線上の絶対フロベニウス作用の明示式の一般化が、本研究において大きなカギを握ることが分かってきた。このコールマンの結果が、幾何的に定義される、あるｐ進特殊関数の連続性に帰着されることを、近年発見した。
この内容を論文にまとめ発表を目指す。さらに一般の場合への拡張を目指す。
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| Causes of Carryover |
購入予定であった専門書の発刊が遅れた。
次年度発行され次第購入予定。
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