2020 Fiscal Year Research-status Report
CM型代数曲線の族、多重ガンマ関数、スターク予想、及び関連する数論的諸問題
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17K05183
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
加塩 朋和 東京理科大学, 理工学部数学科, 准教授 (10403106)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Stark予想 / Gross-Stark予想 / 単数群 / 多重ガンマ関数 / p進多重ガンマ関数 / CM周期 / p進周期 / 冪整基底 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまで、代数体の単数に関するStark予想、Gross-Stark予想や、CM型のアーベル多様体の周期積分(CM周期)に関する吉田予想に興味を持ち、派生して、代数体の整数環や単数群の明示的な表現に関する研究を行ってきた。特に、2020年度は、以下のような研究を行った。
１．本専攻博士後期課程の関川隆太郎氏と共同研究を行い、3次巡回体が冪整基底を持つため同値条件に関するGrasの古典的な結果を、Shanksが導入したsimplest cubic fieldの言葉を用いて、より明示的に書き直した。同研究は論文にまとめられ、学術誌に掲載予定である。また、同研究において冪整基底問題に対する新しい研究手法（単数群のGaloisコホモロジーや加法的Hilbert90など）を発見し、その後も共同研究を継続している。
２．本専攻博士後期課程の吉﨑彪雅氏と共同研究を行い、有理数体上のZ2拡大の各Layerの相対単数群の性質を調べた。とくに"最小単数"に関する明示的な予想を定式化した。関連して、堀江氏、小松氏、福田氏や、岡崎氏、森澤氏などの先駆者の手法に習い、Weberの類数問題への応用を継続して研究している。
３．Stark予想やそのp進類似、及び、CM周期やそのp進類似との関わり合いを研究した。特に、実素点に関するStark単数、有限素点に関するGross-Stark単数共通の細分とみなせる不変量を、(p進)多重ガンマ関数、CM型のアーベル多様体のCM周期、そして、p進Hodge理論の比較同型を利用して定義し、その性質を調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
2020年度は、新型コロナウィルスの直接的、または、間接的な影響により、研究に割けるエフォートが大幅に下がってしまった。更に出張の自粛などにより、他研究機関に所属する専門家との研究討論なども難しくなってしまった。なお、後者の問題点は、遠隔ツールの普及により、現在はある程度改善されている。
その結果、研究手法の見直しの必要を感じ、近隣の若手研究者との共同研究の時間を増やした。また、研究費の使用方法も見直し、知識の提供に対する謝金などに利用することとした。
結果として、大きな軸としていた「Stark予想」関連の研究はやや遅れ気味ではあるものの、派生した「冪整基底」や「相対単数群」に関する研究において、大きな進歩を得られた。これらを総合して「やや遅れている」と評価した。
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| Strategy for Future Research Activity |
2020年度と異なり、現在は新型コロナウィルスの影響下でも、各種ツールの浸透などにより、研究に効果的に取り組める環境が備わってきている。
加えて、半ば非常事態的に取り組み始めた「若手研究者に文献調査・報告をしてもらい、効果的に研究を始める」という研究体制が、軌道に乗ってきている。
2021年度は、研究費の許す範囲で、新旧の手法を使い分けて研究を行いたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス感染拡大の影響により、予定していた出張等が全てキャンセルとなり、旅費の支出が大幅に減少した。
次年度も前半は同様の状況が続くと思われる。主に文献整理等の人件費として使用する予定である。
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