Comprehensive study of multiple zeta functions and their application to quantum integrable systems

2022 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 17K05185
• Research Institution: Rikkyo University
• Principal Investigator: 小森 靖 立教大学, 理学部, 教授 (80343200)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 多重ゼータ関数 / ルート系

Outline of Annual Research Achievements

リー群に付随する多重ゼータ関数の関係式を記述する様々な母関数の構成のうち B, D と A1 × A1 に関する部分についてまとめて, 論文を作成した. またこれまで得られた膨大な結果について，証明などを再検討し簡略化や改良を行うことによって理論を整備し, さらに新たな主張や例なども織り交ぜることによって, 初学者にも読みやすい本を出版することを計画した. 最終年度は校正作業と証明の改良を繰り返し, 2023年度中には出版される予定である. この本によってルート系のゼータ関数の理論の進展に大きく貢献することができたと考えている. (松本耕二氏 (名古屋大), 津村博文氏 (都立大) との共同研究)
また, 有限多重ゼータ値と対称多重ゼータ値において最も重要な研究目標とされている金子-Zagier 予想に関して進展が得られた. この予想を確認するための関係式族の一つである青木・大野関係式について, これまで示されていなかった対称多重ゼータ値版を, 多重ゼータスター値の合同式を示すことによって得ることに成功した. この関係式を用いれば, 既知の他の2種類の関係式にも新しい証明が与えられ, また手法としても有限対称多重ポリログを導入したことにより, 新たな研究の方向性を示したと考えられる. (藤田賢斗氏 (立教大) との共同研究)
さらに以前導入した複素一般線型群に付随する荒川・金子ゼータ関数をさらに拡張することによって, 近年考察されている poly-cosecant 数に関する双対性や補間ゼータ関数, さらに T 値との関係や Bernoulli 数の拡張について研究を行った. 定義に現れる被積分関数について, リーマン球面上の自己同型の微分形式を採用することによって, より自然な拡張が得られることがわかった. (金子昌信氏 (九州大), 津村博文氏 (都立大) との共同研究)