2020 Fiscal Year Annual Research Report
A study on automorphic forms of several variables with symmetries of level structure
| Project/Area Number |
17K05186
|
|---|
| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
|---|
Principal Investigator |
村瀬 篤 京都産業大学, 理学部, 教授 (40157772)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
|
| Keywords | 対称性 / ヤコビ形式 / ベクトル系 / ジーゲル保型形式 / 無限積 / モジュラー曲線 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、階層構造付き対称性を持つ２次ジーゲル保型形式の族の研究を行った。ここで、２次ジーゲル保型形式の階層構造付き対称性とは、ジーゲル上半平面の点（虚部が正定値な複素２次対称行列）の２つの対角成分に関する2種のHecke作用素が保型形式の階層構造とcompatibleであることをいう。階層構造付き対称性を持つ２次ジーゲル保型形式の族の各元が正則ならば、それらはすべて無限積を持つ２次ジーゲル保型形式になることを証明した。各無限積は、２次ジーゲル保型形式のフーリエ・ヤコビ展開の最初の２つの項の商の族によって完全に決定される。また、コンピュータによる数値計算を行って、レベル２とレベル３の場合に、青木-伊吹山によって知られている２次ジーゲル保型形式のなす環の生成元について、無限積になるものを新たに見出した。
研究期間全体としては、前年度までに、主として今年度の研究成果の証明のステップに必要となる階層構造付き対称性を持つヤコビ形式の研究を行った。この研究自体も独立した興味がある。以上は、B. Heim氏との共同研究である。なお、この研究の成果をまとめた論文を、現在専門雑誌に投稿中である。
また、関連する数論幾何的テーマとして、階層構造付き対称性を持つ代数曲線が、モジュラー曲線になることを証明した。モジュラー曲線という古くから知られている重要な研究対象の全く新しい特徴付けを与えるものであり、大きな意義がある。この結果は、B. Heim氏、C. Kaiser氏との共同研究である。
符号が(n,2)の直交群上の保型形式の場合に、直交群の構造に関するある予想が証明できれば、階層構造付き対称性と無限積の関係について、２次ジーゲル保型形式の場合とほぼ同様な結果を証明できることを示した（B. Heim氏との共同研究）。
なお、新型コロナウイルスの感染防止のために出張を中止したため、2020年度まで、研究期間を延長した。
|
