2018 Fiscal Year Research-status Report

Compactification of the moduli of abelian varieties over an integer ring

Research Project

Project/Area Number	17K05188
Research Institution	Hokkaido University
Principal Investigator	中村郁北海道大学, 理学研究院, 名誉教授 (50022687)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2020-03-31
Keywords	Neronモデル / モジュライ / コンパクト化 / アーベル多様体 / Voronoi分割 / 退化
Outline of Annual Research Achievements	代表者は、非可換レベル構造つきアーベル多様体のモジュライ空間の基礎環$Z[\zeta_N,1/N]$上のコンパクト化$SQ_{g,K}$を構成し、Hilbert点の安定性を証明した(1999)。ただし、$K$は非退化交代2次形式を持つ有限群を表し、アーベル多様体のレベル構造を指定する。$N$は群$K$の位数を表す。基礎環が$Z[\zeta_N,1/N]$となっているのは、$N$を割る素数$p$（悪い素数という）の体の上ではモジュライ空間が構成できていないことを示している。さらに、同じ基礎環$Z[\zeta_N,1/N]$上に、第二のコンパクト化$SQ^{\rm toric}_{g,K}$を構成し, $SQ^{\rm toric}_{g,K}$から$SQ_{g,K}$への双有理全単射写像を構成した(2010)。これは、二つのモジュライ空間はほぼ同じであることを示している。残る主要な問題はまず第一に基礎環$Z[\zeta_N]$上にモジュライ空間を延長する、すなわち$N$を割る素数$p$の体の上でもモジュライ空間を構成することである。上の二つのどちらが延長できるのか未解決問題であった。現在進展中の研究で、第二のモジュライ空間$SQ^{\rm toric}_{g,K}$を基礎環$Z[\zeta_N]$上への拡張する理論が進展中である。ここで重要な問題は、悪い素点での振る舞いの記述であるが、1次元の場合精密に記述できるようになった。第二の主要な問題は$SQ^{\rm toric}_{g,K}$がVoronoiコンパクト化にほぼ一致することを証明することである。現在、関連する論文執筆中で、たとえば、4次元Voronoi分割を調べて退化アーベル多様体が被約であることを証明、その論文が完成に近づいている。また、Neron モデルの同変コンパクト化が構成でき、その論文を執筆中である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 三井健太郎氏との共同研究で、Neronモデルの同変コンパクト化を具体的に構成できた。ただし、Neronモデルの連結成分の群の位数と剰余体の標数が互いに素、という条件が必要である。Neronモデルのコンパクト化は、本研究(アーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化研究)の出発点であったが、こちらは完成はしていなかった。今回の研究は、まだ制限付きはであるが、一つの最終的な形を与える成果である。また、菅原健氏と共同で4次元Delaunay分割はすべて各格子点での錘が単体生成であること、したがって、4次元PSQASと呼ばれる標準的退化アーベル多様体は被約であることが証明できた。二つの論文を執筆中である。
Strategy for Future Research Activity	今回のNeronモデルのコンパクト化はまだ制限付きである。この制限を取り除くことが課題である。これについても研究成果は得られつつあるので、今後さらにこれを推し進めて最終的な結果にすることが重要である。また、次元が3以下の場合に第二の主要な問題が解決に近づいている。具体的には、次元が3以下の場合に$SQ^{\rm toric}_{g,K}$がVoronoiコンパクト化と一致することの証明が、相当程度完成している。この完成を次の目標として、研究を進めていく。
Causes of Carryover	今年度は研究が進展して論文執筆に集中するために極力出張を抑えたことと、コンピューターなどの備品は前年度整備したのでこれも節約できたので、研究に必要な文献の収集以外はあまり費用が掛からなかったため。