2019 Fiscal Year Research-status Report
Compactification of the moduli of abelian varieties over an integer ring
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17K05188
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
中村 郁 北海道大学, 理学研究院, 名誉教授 (50022687)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | Neron モデル / モジュライ / コンパクト化 / アーベル多様体 / デロネ分割 / 退化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代表者は、非可換レベル構造つきアーベル多様体のモジュライ空間の基礎環$Z[\zeta_N,1/N]$上のコンパクト化$SQ_{g,K}$を構成し、Hilbert点の安定性を証明した(1999)。ただし、$K$は非退化交代2次形式を持つ有限群で、アーベル多様体のレベル構造を指定し、$N$は群$K$の位数を表す。基礎環が$Z[\zeta_N,1/N]$となっているのは、$N$を割る素数$p$（悪い素数という）の体の上ではモジュライ空間が構成できていないことを示している。さらに、同じ基礎環$Z[\zeta_N,1/N]$上に、第二のコンパクト化$SQ^{\rm toric}_{g,K}$を構成し, $SQ^{\rm toric}_{g,K}$から$SQ_{g,K}$への双有理全単射写像を構成し二つのモジュライ空間の正規化は同型であることを示した(2010)。残る主要な問題はまず第一に基礎環$Z[\zeta_N]$上にモジュライ空間を延長する、すなわち$N$を割る素数$p$の体の上でもモジュライ空間を構成することである。とりわけ、上の二つの延長のどちらが（あるいは両方とも）理論化できるのかも問題である。第二のモジュライ空間$SQ^{\rm toric}_{g,K}$を基礎環$Z[\zeta_N]$上への拡張する理論が、現在進展中である。また、代表者にとって本研究の出発点であった、Neron モデルの研究が進んでいる。Neron 同変コンパクト化が構成でき、その共著論文1篇は完成、単著1篇を現在執筆中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
三井氏との共同研究で、Neronモデルの同変コンパクト化を具体的に構成できた。
ただし、Neronモデルの連結成分の群の位数と剰余体の標数が互いに素、という条件が必要である。Neronモデルのコンパクト化は、本研究(アーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化研究)の出発点であった。三井氏との共著論文は執筆を終え、現在最終的に検討中。さらにその続編を単著で準備中である。また、菅原健氏と共同で4次元Delaunay分割はすべて各格子点での錘が単体生成であること、したがって、4次元PSQASと呼ばれる標準的退化アーベル多様体は被約であることを証明し、論文も完成した。
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| Strategy for Future Research Activity |
三井氏との共著のNeronモデルのコンパクト化はまだ制限付きである。現在執筆中の論文ではこの制限を取り除くことができる。応用上は、Dedekind環上のNeronモデルのコンパクト化の大域的な構成が重要である。この観点で論文を完成するにはまだすこし時間が必要であるが、この方向で進めていく。また、第二のモジュライ空間$SQ^{\rm toric}_{g,K}$を基礎環$Z[\zeta_N]$上へ拡張する理論の論文完成を次の目標として、研究を進めていく。
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| Causes of Carryover |
今年度は論文執筆のために出張を抑えたのとコロナ感染を避けて研究集会には出席しなかったため、予算が残りました。来年度はコロナ感染に対し安全を十分確認して、研究連絡成果発表などを行います。
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