Compactification of the moduli of abelian varieties over an integer ring

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05188
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 中村 郁 北海道大学, 理学研究院, 名誉教授 (50022687)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: ネロンモデル / モジュライ / コンパクト化 / アーベル多様体 / デロネ分割 / ボロノイ分割 / アーベル多様体の退化

Outline of Annual Research Achievements

代表者は、非可換レベル構造つきアーベル多様体のモジュライ空間の基礎環$Z[\zeta_N,1/N]$上のコンパクト化$SQ_{g,K}$を構成し、ヒルベルト点の安定性を証明した(1999)。ただし、$K$は非退化交代2次形式を持つ有限群で、アーベル多様体のレベル構造を指定し、$N$は群$K$の位数を表す。さらに、同じ基礎環$Z[\zeta_N,1/N]$上に、第二のコンパクト化$SQ^{\rm toric}_{g,K}$を構成し, $SQ^{\rm toric}_{g,K}$から$SQ_{g,K}$への双有理全単射写像を構成し二つのモジュライ空間の正規化は同型であることを示した(2010)。基礎環が$Z[\zeta_N,1/N]$となっているのは、$N$を割る素数$p$（悪い素数という）の体の上ではモジュライ空間が構成できていないことを示している。残る主要な問題は、$N$を割る素数$p$の体の上でも（一般に可約な）モジュライ空間を構成し、モジュライ空間を平坦に環$Z[\zeta_N]$上まで延長することである。特に、上の二つの延長のどちらが（あるいは両方とも）理論化できるのかが問題であるが、第二のモジュライ空間$SQ^{\rm toric}_{g,K}$を基礎環$Z[\zeta_N]$上へ拡張する理論が、現在進展中である。
また、代表者にとって本研究の出発点であった、ネロンモデルのコンパクト化の研究が進んでいる。その共著論文原稿は完成、現在、共著者がその最終原稿(texで70ページあまり）の検討を続けている。代表者はその検討を待つ一方で、続編の単著1篇を現在執筆中である。
菅原健氏と共同で「4次元Delaunay分割はすべて各格子点での錘が単体生成である」こと、したがって、「4次元PSQASと呼ばれる標準的退化アーベル多様体は被約である」ことを証明、論文を現在投稿中である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

三井氏との共同論文で、ネロンモデルの同変コンパクト化をボロノイ分割を用いて具体的に構成できた。ただし、この論文では、ネロンモデルの連結成分の群の位数と剰余体の標数が互いに素、という条件が必要である。ネロンモデルのコンパクト化は、本研究(アーベル多様体のモジュライ空間コンパクト化の研究)の出発点であった。三井氏との共著論文は最終原稿を、現在共著者の三井氏が検討中である。さらにその続編を代表者の単著で執筆中である。
また、菅原健氏と共同で「4次元でデロネ分割はすべて各格子点での錘が単体生成である」こと、したがって、「4次元の標準的退化アーベル多様体は被約である」ことを証明し、論文も完成し、現在投稿中である。

Strategy for Future Research Activity

三井氏との共著のネロンモデルのコンパクト化はまだ制限付きである。現在執筆中の続編（単著）ではこの制限を取り除くことができる。この論文は遠からず完成するが、第二のモジュライ空間$SQ^{\rm toric}_{g,K}$を基礎環$Z[\zeta_N]$上へ拡張する理論の論文も並行して執筆しており、その完成を次の目標として研究を進めていく。

Causes of Carryover

今年度はコロナ流行のため、代表者の関係する研究集会はすべてZoomによる開催となりました。そのため、Zoom研究集会出席のためにWifiとUQ WImaxを購入しましたが、それ以外には図書の購入だけで、その結果ほとんどの予算が残りました。21年度はコロナ感染に対し安全を十分確認して、研究連絡成果発表を行います。