Compactification of the moduli of abelian varieties over an integer ring

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05188
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 中村 郁 北海道大学, 理学研究院, 名誉教授 (50022687)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: ネロンモデル / ボロノイ分割 / コンパクト化 / アーベル多様体の退化 / モジュライ / アーベル多様体 / デロネ分割

Outline of Annual Research Achievements

この1年間はネロンモデルのコンパクト化の研究に集中して取り組んだ。最終段階で、理論的に不十分と思われる点など修正と改善に取り組んだ。コンパクト化を記述する組み合わせ論的データを整備し、分かりやすい表示を与えた。\cite{Nakamura99}で採用した無限生成代数は$\cR=R[a(x)w^x\vartheta; x\in X]$という簡明な形をとる。ただし、$X$は階数有限の自由$\bZ$加群、$a(x)$は退化データの一部、$\vartheta$は不定元を表す。これからネロン・モデル$\cG$を回復するため、$\cG$の見かけの線束を選んで、この線束を実現する、無限生成代数を構成する。こうしてできるコンパクト化の閉ファイバーの既約成分はすべて同型で、以下のVoronoi多面体で記述される：$$\Sigma(0)=\{x\in X\otimes_{\bZ} \bR; B(x-y,x-y)\geq B(x,x) (\forall y\in Y)\}.$$ただし、$Y$は$X$の有限指数の部分群、$B$はネロン・モデルのモノドロミー行列。\cite{Nakamura99}では、$\Sigma(0)$としてDelaunay多面体が現れていたのと対照的である。この研究についての三井氏との共著論文原稿は22年1月に完成して投稿したが、2か月後、「ネロンモデルの連結成分の群の位数と剰余体の標数が互いに素」という付帯条件の問題点などを含む、理論的になお不十分な点を指摘されて論文は受理されなかった。その後の検討で、完全に解決する方法もほぼ分かったので、今後その改善に取り組む。このほか、関連する問題についての単著論文1篇を現在執筆中。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

三井氏との共同論文で、ネロンモデルの同変コンパクト化を具体的に構成できた。
ただし、この論文では、ネロンモデルの連結成分の群の位数と剰余体の標数が互いに素、という条件が必要である。現在この付帯条件を除くために論文を改訂中である。さらに関連論文を代表者の単著で執筆中である。

Strategy for Future Research Activity

付帯条件を除くこと自身は、[Nakamura99]の方法を適用すればできる。その場合には、洗練された単純な主張にすることが次の問題であるが、それには、準備中の論文の原理にさかのぼって考察し直さなければならない。2022年度この問題にまず取り組む。成功すれば相当な有益な改良になる。

Causes of Carryover

コロナの影響で情報収集、研究連絡のための出張ができなかった。