Compactification of the moduli of abelian varieties over an integer ring

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 17K05188
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: Nakamura Iku 北海道大学, 理学研究院, 名誉教授 (50022687)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: アーベル多様体 / モジュライ / コンパクト化 / アーベル多様体の退化 / ネロン・モデル / ネロン・モデルのコンパクト化 / ボロノイ多面体

Outline of Final Research Achievements

Any abelian variety $(G_{\eta},\cL{\eta})$ over a complete discrete valuation ring has a unique N\'eron model $\cG$. Our main result is stated as follows: if $\cG$ is semi-abelian, then there exists a unique relative compactification $(P,\cN)$ such that (i) $\cN$ is a polarization of $\cG$ extending the $n$-th tensor of $\cL_{\eta}$ for some $n$ with $\cN_{\cG}$ cubical, (ii) $P$ is Cohen-Macaulay, (iii) $P\setminus\cG$ is of codimension at least two.

Free Research Field

代数幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

代数体上で定義されたアーベル多様体は、一次元の楕円曲線の場合を含め、研究対象として興味深い。その基本的な研究手段として、代数体の整数環上に延長された極小モデル、あるいは、ネロン・モデルは大切である。とりわけ、アーベル多様体の退化する素点（以下、悪い素点という）での振る舞いは重要な情報を与える。ネロン・モデルの自然なコンパクト化は、その情報を得るための一つの有効な手段になると期待される。