2017 Fiscal Year Research-status Report
Super-groups and super-geometry from Hopf-algebraic view-point
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17K05189
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
増岡 彰 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (50229366)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ホップ代数 / スーパー代数群 / ハリシュ・チャンドラ対 / スーパースキーム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
スーパー幾何学は、近年スーパー・ストリング理論のインパクトから興味を呼んでいる研究分野ではあるが、微分幾何学的見地からの豊富な研究成果に比べ、Grothendieck流現代代数幾何学からのアプローチが十分なされているとは言い難い。本研究の目的は、このアプローチによってスーパー幾何学の研究を行なうこと、端的言えばスーパースキーム、とくにその群対象たるスーパー群スキームの研究を行なうことである。Grothendieckの手法と同様、スーパースキームを、スーパー環つき空間として扱う方法と並んで、ある種の条件を満たす、スーパー代数全体からなる圏の上で定義された関手として扱う方法がある。スーパー群スキームを研究する場合、これら２つの方法をバランスよく用いることが有効であって、いずれの方法も自然に（スーパー）ホップ代数と結びつく。
ホップ代数の手法を主に用いて、次の３つを含む、スーパー代数群に関する基本的結果を得た。(1)可解およびベキ零スーパー代数群の特徴づけ、(2)可換環上のスーパー代数群、とくに有理整数環上のシュヴァレー・スーパー代数群の構成、(3)スーパー代数群を群関手として実現する方法。
スーパー代数群はハリシュ・チャンドラ対と呼ばれるより扱いやすいデータによって記述できる。より正確には、スーパー代数群全体からなる圏とハリシュ・チャンドラ対全体の圏の間に同値が存在する。上記結果はいずれもこの結果に基づいている。研究代表者によって体上で示されていたこの圏同値を、このたび可換環上に一般化し、とくに(2)において応用している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ほぼ予定通りに研究が進み、また次に取り組むべき課題にすでに進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでも当該研究課題に関して共同研究を行なってきた、Alexadr Zubkov教授(オムスク、ソボレフ数学研究所）と、これまでより広くスーパー代数幾何学について共同研究を行なう。主に物理学者によってなされてきた、スーパー・リーマン面に関する研究成果を、我々の現代代数幾何的立場から、よりよく理解すること、一般化することに興味がある。
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| Causes of Carryover |
2019年３月につくば国際会議場において、国際研究集会 Hopf-algebra conference in Tsukuba 2019を開催する。この研究集会の会場費、また招待する研究者の旅費、宿泊費等の一部に、繰り越した科研費をあてる。
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Research Products
(4 results)
