2019 Fiscal Year Research-status Report
Super-groups and super-geometry from Hopf-algebraic view-point
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17K05189
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
増岡 彰 筑波大学, 数理物質系, 教授 (50229366)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ホップ代数 / スーパー代数群 / スーパー・リー群 / スーパー幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
群 G を部分群 H で割るとG における H-軌道全体からなる集合 G/H が得られる。このごく初等的事実も、スキームのコンテクストになるととたんに難しくなる。とはいえ、アフィン代数群（スキーム）G の閉部分群 H による商層 G/H が Noether スキームになることが知られている。「これがスーパー対称性のコンテクストにおいて一般化されるか」という問題がJ. Brundan (2006) によって提出された。スーパー代数群の表現論への興味に基づく。高橋祐太との共同研究でこの問題を解決した。すなわち、アフィン・スーパー代数群 G のスーパー閉部分群 H による商スキーム G/H の存在を、その底空間と構造層を直接与える形で示した。これにはホップ代数の手法が用いられた。
星光和、高橋佑太との共同研究で、同じ手法を用い上の結果の解析的類似を示した。スーパー・リー群 G のスーパー・リー部分群 H による商に関する結果で、G の主 H-束としての構造について新しい性質を明らかにした。
島田佑太との共同研究により、スーパー代数群が積分を持つための特徴づけを与えた。また、積分を持つスーパー代数群 G がアフィン・スーパー・スキーム X に自由に作用するとき、商層 X/G は必ずアフィン・スーパー・スキームになることを証明した。また島田との共同研究により、複素単純リー代数に付随する、１変数有理関数体上の微分リー代数の型式をすべて決定した。これはPianzola教授（アルバータ大学）が提出した問題に答えたものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究は順調に進んでおり、次に解決すべき問題も見えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
スーパー代数群へのスーパー閉部分群（の乗法）による作用は、スーパー・スキーム X へのスーパー代数群 G への自由な作用に一般化される。
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| Causes of Carryover |
予定していた研究連絡会が、研究代表者のその他の業務による多忙と、研究棟の改修工事のため、延期になったことによる。
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