2017 Fiscal Year Research-status Report
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17K05190
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
星野 光男 筑波大学, 数理物質系, 講師 (90181495)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ネター環 / 被役グレード / グレード / 一般中山予想 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Ｒを右ネター環とし，{Ｓ(λ)}を単純右Ｒ加群の同型類の完全代表系とする．各λに対してＥ(λ)によって右Ｒ加群としてのＳ(λ)の移入包絡を表すことにする．また，Ａを環Ｒ上の非可換代数，即ち，環Ｒからの環準同型写像Ｒ→Ａが与えられている他の右ネター環とし，Ｖを(A,R)-双加群で以下の３条件を満たすものとする：１）右Ｒ加群としてＶは無限の被約グレードを持つ有限生成加群である；２）左Ａ加群としてＶは忠実に平坦である；３）全てのλに対して，ＶとＥ(λ)とのＲ上のテンソル積は左Ａ加群として有限の移入次元を持つ．このとき，以下の主張が成り立つことを示した．
（１）無限の被約グレードを持つ任意の有限生成右Ａ加群Ｘに対して，ＸとＶとのＡ上のテンソル積は右Ｒ加群として無限の被約グレードを持つ．
（２）もし有限生成右Ｒ加群で無限のグレードを持つものが零加群以外に存在しないならば，環Ａについても同様の主張が成り立つ．
（３）無限の被役グレードを持つ任意の有限生成右Ａ加群Ｘに対して，もしＸとＶとのＡ上のテンソル積が右Ｒ加群として捩れを持たなければ，右Ａ加群Ｘもやはり捩れを持たない．
（４）任意のＡの極大右イデアルＭに対して，ＶをでＭＶで割った剰余加群Ｖ／ＭＶの右Ｒ加群としての零化イデアルをＮとするとき，剰余環Ｒ／Ｎが半単純環であるとする．このとき，もし環Ｒに対して一般中山予想が肯定的に成立すれば，環Ａに対してもやはり一般中山予想が肯定的に成立する．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究業績の概要欄において，特にＶが右Ｒ加群として有限生成の場合を考えるとき，もしＶのＲ双対が左Ｒ加群として有限の射影次元を持つならば条件３）は自動的に満たされることも示した．従って，ＡがＲのフロベニウス拡大環の場合には，ＶとしてＡをとることにができる．これによって，初期の目的がほぼ達成された．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究協力者の亀山（サレジオ高専）・古賀（東京電機大）との間で行なっている研究セミナーを継続する．そのセミナーに研究分野の近い研究者を適宜招聘し，またこちらから他の研究機関でのセミナーに参加して研究討論を行う．また，国内外の研究集会に積極的に参加して研究発表および情報収集を行う．
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| Causes of Carryover |
体調不良のため予定していた出張を取り止めた．依然として通院中ではあるが，国内出張には差し支えない程度には回復している．また，海外出張については，研究協力者の亀山・古賀に協力を仰ぐ．前年度の未使用分も含めて計画通りに旅費を使用する．
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