2018 Fiscal Year Research-status Report
非輪状複体の変形を用いたイデアル商の計算とその応用
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17K05192
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
西田 康二 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (60228187)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 可換環 / イデアル商 / 非輪状複体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この研究では、次元が d の局所（または次数付き）マコーレー環 R において長さ d の自由分解を持つイデアル I が与えられたとき、適当なパラメータ系で生成されるイデアル Q を用いて I の自由分解を変形することにより、イデアル商 I : Q の自由分解となる非輪状複体を構成する方法（これを「*変形」という）に注目する。その変形を繰り返すことにより、イデアル I の冪乗のサチュレイションやシンボリック冪の研究に応用することが目的である。*変形の結果として得られる非輪状複体の末尾の準同型写像を制御することが重要になるのだが、その為には、末尾の 2 つのR-自由加群の基底を適切に表現する必要がある。昨年度は d = 3 で R が局所環の場合にこの問題に取り組み、変形操作の繰り返しに耐えうるのではないかと思われる基底の記述法を見出すことができたので、今年度は次数付版の*変形の理論を構築することを目標とした。
主結果は、3次元次数付マコーレー環 R において次数付自由分解をもつ斉次イデアル I が与えられたとき、適当な斉次パラメーターイデアル Q を用いて I の次数付自由分解を変形することにより、イデアル商 I : Q （これも斉次イデアルになる）の次数付自由分解となる非輪状複体を構成するというものである。昨年度の研究では、末尾の2つのR-自由加群の基底を3変数 A, B, C の単項式と数字 1, 2, 3 の組み合わせで記述する方法を見出すことができたのであるが、これらの変数と数字に適切な重みを与えることが鍵になった。また、末尾のR-自由加群の基底の次数から、シンボリック冪の生成元の次数を容易に計算することが可能なものになっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
代数幾何学的な観点からのシンボリックリース環の研究を考慮すると、次数付という枠組みで理論を構築することは大きな意義を持つ。既に知られている結果と比較する上でも重要なステップを踏むことができたのではないかと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
スペース・モノミアル・カーブを定義するイデアルのシンボリックリース環や射影平面の m 点ブローアップ等を扱ってみる予定である。
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| Causes of Carryover |
資金は概ね予定通りに使用しているが、年度末で残額に端数が生じた。残った資金は次年度に繰り越し、主に旅費として有効に使用する予定である。
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