2021 Fiscal Year Research-status Report

非輪状複体の変形を用いたイデアル商の計算とその応用

Research Project

Project/Area Number	17K05192
Research Institution	Chiba University
Principal Investigator	西田康二千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (60228187)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2023-03-31
Keywords	シンボリック冪 / ヒルベルト係数 / 可換環
Outline of Annual Research Achievements	R は非負整数で次数付けられた d 次元の可換なCohen-Macaulay環で0次斉次部分 R_0 はArtin局所環とする。本研究では R の斉次イデアル I のシンボリック冪 I^(n) を効率的に計算する方法を模索している。剰余環 R / I の次元が 1 で I を極小（すなわち次元が 1 の）素因子 P で局所化したイデアルが正則列で生成される場合には、通常の冪乗 I^n を含んでいてかつ I^(n) に含まれる斉次イデアル J で depth R / J > 0 である様なものを見つけられれば、J = I^(n) が成り立つ。この研究では、非輪状複体の変形をその作業に応用できることを確かめてきたが、今年度は他のアプローチについても考察し、その成果としてヒルベルト係数を用いた議論も有効であることを見い出した。以下では、R は R_0 上で有限個の1次斉次元で生成され、J は R の斉次イデアルで R / J の次元は r とする。さらに、i は 0 以上 1 以下の自然数とする。このとき、r - i 個の 1 次斉次元 f_1, f_2, ... , f_{r - i} を general にとると、R / J の depth が r - i 以上になる為には、 R / J と R / ((f_1, ... , f_{r - i}) + J) の第 i ヒルベルト係数が一致することが必要十分であるという事実が新たな知見である。R / I の次元が r で、次元が r - i 以上になる V(I) の任意の元 P による I の局所化が正則列で生成されるという状況では、I^n を含み I^(n) に含まれる様な J に対して、その第 i ヒルベルト係数を調べることにより I^(n) = J となるかどうかを判定することが可能になる。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 2020年度は所属研究部門で他の業務に多くの時間を割かなければならなかった状況と新型コロナウイルス感染症の拡大防止に配慮しなければならなかった事態が重なり、研究の進捗状況にやや遅れが生じたが、2021年度は必要な研究時間の確保が可能になり、パンデミック下での研究活動の遂行にも慣れてきた為、遅れは十分に取り戻せたと感じている。
Strategy for Future Research Activity	2021年度に得た成果を用いて具体的なイデアルのシンボリック冪の計算を実行してみる。また、本研究課題の最終年度としてこれまでの研究成果をまとめ、今後の課題を明確化する。
Causes of Carryover	新型コロナウイルス感染症の拡大阻止を目的とした移動制限が設けられた為、予定していた出張が中止となり、次年度使用額が生じた。移動制限は解除されたので、今後、研究打合せや情報収集を目的とした出張旅費等で有効に使用する予定である。