2018 Fiscal Year Research-status Report
Conformal field theory and quantum group
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17K05194
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
土屋 昭博 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 客員上級科学研究員 (90022673)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 共形場理論 / １の巾根上の量子群 / Screening作用素 / Virasoro交わり作用素 / 頂点作用素代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この２年間はS.Wood氏と共同で行ったA1型拡大W代数の理論の整備に努めてきた。Tsuchiya-Woodの仕事の内容は、A1型格子頂点作用素代数に２つのScreening作用素を導入することから始まる。このScreening作用素はVirasoro energy tensorの次元１のPrimary fieldであるが、多価関数であった。Screening作用素の多重積をTsuchiya-Kanieで行ったtwisted deRham とtwisted cycleで重積分すると、Virasoro代数に関するまつわり作用素が定義できた。
それを使って拡大W代数や拡大W代数の2p個の既約表現が構成できた。この拡大W代数の表現の作るアーベル圏は、既約表現を2p個だけ持つが、アーベル圏として半単純でなく、またコホモロジー次元は無限だった。この拡大W代数の普遍展開環の構造を調べるのに対応する零mod代数の構造を調べた。
Tsuchiya-Woodの論点はScreening作用素とその重複積分を離散付環(K, O)上にもち上げることがあった。こうしてもTsuchiya-Kanieによるtwisted cycleによる積分は機能したが、この時C上ではまつわり作用素は２乘にするとzeroであったが(K, O)上εで割れることとなった。そこでこれをεで割り、C上のVirasoro交わり作用素E, Fを作った。このE, Fの性質を使って拡大W代数の零mod代数を決定することができた。これがTsuchiya-Woodの内容だった。しかし、理論構成のまずさからE, Fの性質の解明に手間取っていた。このE,Fの性質の精査に２年が掛った。最近、この状況が解決する道が見えてきたので、今年度中に成果が出そうである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究概要で述べたように理論を(K, O)上にもち上げることにより、C上の交わり作用素の合成は零をなるが、(K, O)上にもち上げることにより合成はεで割れることになり、合成をεで割ってC上のVirasoro交わり作用素E, Fを作った。このE, Fの拡大W代数への作用の性質を研究し、拡大W代数の表現空間上への作用を決定し、対応する共形場理論におけるprimary fieldの真空期待値の性質等を用いてTsuchiya-Woodでは拡大W代数の零mod代数を決定し、拡大W代数の作る表現の作るアーベル圏の第１近似が完成した。この後(K, O)上での積分の合成の性質の解明に２年間を費やしてきたが、この数カ月で状況が一変した。今まで理論の補助手段と考えていた拡大W代数やScreening作用素の(K, O)上へ持ち上げる代わりに(K, O)上での頂点作用素を考えると、対応して(K, O)上でのA1型拡大頂点作用素が得られる。この(K, O)上のA1型拡大W代数を(K, O)からC上に落とすと、我々の考えていたC上の頂点作用素代数が復活する。(K, O)上で、右安定, 左安定を分けるBridglandの安定性条件を導入することにより、この(K, O)上の拡大W代数は(K, O)上のP1上の共形場理論とN点関数系を考えると、N点関数系の因子化が成立することが分かった。C上ではこの因子化が崩れている。2019年度はこの(K, O)上での拡大W代数の理論を整備する事を目的とする。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記に述べた(K, O)上の拡大W代数のつくるP1上の共形場理論、特にN点関数系の理論を進展させ因子化条件を確認する。 この上でFusion行列, Monodromy行列やその安定化条件を確認する。この上での(K, O)上での拡大W代数の(K, O)上の表現の作るアーベル圏上にFusion tensor積から得られるtensor圏を導き、braded tensor categoryを作る。ところで、(K, O)上のW代数にはVirasoro代数の作用から決まる自然な反同型写像が決まる。このことを使って、(K, O)上の拡大W代数の表現の空間内には双対作用が存在する。この事を使うと(K, O)上の拡大W代数の(K, O)上での表現の作るアーベル圏にリボン・テンソル圏の構造が入ることが推察される。この(K, O)上に定義されたリボン・テンソル圏の構造を使って、(K, O)上に定義された拡大W代数について普遍代数と零mod代数が定義され、さらに零mod代数は(K, O)上半単縦なアルチン代数を成すことが示される。この事を使って、(K, O)上定義された拡大W代数のP１上での共形ブロックの理論についてその因子化が確認できると考えている。今年度はこれを実行する。
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| Causes of Carryover |
研究計画はほぼ順調に進んでいるが、予定していた海外への出張を健康上の理由から自粛したため、外国出張旅費が残ってしまった。繰り越して国内の共同研究者との打ち合わせのための国内出張旅費に使用する。
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