2019 Fiscal Year Research-status Report
Conformal field theory and quantum group
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17K05194
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
土屋 昭博 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 客員上級科学研究員 (90022673)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 共形場理論 / 1の巾根上の量子群 / Screening作用素 / Virasoro交わり作用素 / 頂点作用素代数 / 拡大W代数 / Felder complex / screening 作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この数年来、S.Wood氏と共同で行ったA1型拡大W代数の理論の整備に努めてきた。Tsuchiya-Woodの仕事の内容は、A1型格子頂点作用素代数に２つのScreening作用素を導入することから始まる。このScreening作用素はVirasoro energy tensorの次元１のPrimary fieldであるが、多価関数であった。Screening作用素の多重積をTsuchiya-Kanieで行ったtwisted deRham とtwisted cycleで重積分すると、Virasoro代数に関するまつわり作用素が定義できた。
それを使って拡大W代数や拡大W代数の2p個の既約表現が構成できた。この拡大W代数の表現の作るアーベル圏は、既約表現を2p個だけ持つが、アーベル圏として半単純でなく、またコホモロジー次元は無限だった。この拡大W代数の普遍展開環の構造を調べるのに対応する零mod代数の構造を調べた。Tsuchiya-Woodの論点はScreening作用素とその重複積分を離散付環(K, O)上にもち上げることがあった。こうしてもTsuchiya-Kanieによるtwisted cycleによる積分は機能したが、この時C上ではまつわり作用素は２乘にするとzeroであったが(K, O)上εで割れることとなった。そこでこれをεで割り、C上のVirasoro交わり作用素E, Fを作った。このE, Fの性質を使って拡大W代数の零mod代数を決定することができた。これがTsuchiya-Woodの内容だった。しかし、理論構成のまずさからE, Fの性質の解明に手間取っていた。このE,Fの性質の精査に２年が経過したが、最近光明が見え始めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
本研究は、この十年来研究しているA1型拡大W代数と呼ばれている頂点作用素代数の構成、その表現論及び対応する複素直線上の共形場理論の構成にかかわるものである。これは互いに素な２以上の整数の組(p+, p-)に付随して2005年にロシアの数学者B. Feigin達により初めて構成された。その構成方法はVirasoro代数の自由場表示を中心電荷C p+, p-のVirasoro頂点作用素の代数拡大頂点作用素代数としてA1型拡大W代数が定義された。申請者はWood氏と共同で、そこで使用されるScreening作用素の多重積分を1986年にTsuchiya-Kanieで行ったtwisted deRham理論とtwisted cycleの構成をdiscrete valuation ring上に持ち上げて行うことでより厳密に定義した。更にこのdiscrete valuation ring上への持ち上げを用いてFrobenius作用素と呼ばれるVirasoro まつわり作用素E, Fを定義した。このことによりA1型拡大W代数のC2有限性を証明し、更に零モード代数の構造を完全に決定した。
しかし、その最終的な場合に使用したFrobenius作用素の構成及び性質はかなり強引なものであり、この数年間はこの部分の明確化に力を注いできた。この過程は、次のステップのFusion tensor場の構成に不可欠だった。
令和元年にVirasoro代数のVerna加群とFuck加群におけるVirasoro代数としてのsingular vectorの比例定数に関する白石潤一氏の予想を見つけ、我々の方法でその証明をすることができた。これを使うとFreken作用素の構成がうまくいきかけていたが、私の健康状態の悪化のため足踏みを余儀なくされている。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き、A1型拡大W代数と呼ばれている頂点作用素代数の構成、その表現論及び対応する複素直線上の共形場理論の構成について、研究協力者と討議を重ねながら研究を行う。
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| Causes of Carryover |
東北大学数学教室の長谷川浩司准教授とその研究室の大学院生の菅原君と中野君と共同で研究を進めていたが、後半には私の健康状態が悪化し、東京・仙台間の研究交流が難しくなった。体調が回復次第、旅費として使用する計画である。
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