2020 Fiscal Year Research-status Report
Conformal field theory and quantum group
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17K05194
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
土屋 昭博 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 客員上級科学研究員 (90022673)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 共形場理論 / 1の巾根上の量子群 / Screening作用素 / Virasoro交わり作用素 / 頂点作用素代数 / 拡大W代数 / Felder complex |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代表者は、1980年代より共形場理論の研究を続けている。1980年代から1990年代にかけて、アファインリー環の可積分表現にassociateしてgenus zero上の N点付き安定曲線のmoduli 空間上にN体の共形ブロックの層の構成を行なった。アファインリー環の可積分表現のアーベル圏は、有限個の単純対象をもち、アーベル圏としては半単純であることが重要である。
2000年前半より、代表者は、表現の単純対象の数は有限個であるが、アーベル圏としては半単純でない場合に対して上記理論の拡張を試みてきた。頂点作用素代数の普遍代数を定義し、さらに零mod代数を定義した。この零mod代数の有限次元となるものをQuasi-fits finite vertex operator algebraと呼んだ。このQuasi-fits finite vertex operator algebraの表現のつくるアーベル圏は有限個の単純対象であるがアーベル圏と半単純でないことが分かる。Genus 0 N点付き安定曲線上moduli 空間上にN体全真空のsheef をModuli空間のboundaryに沿って右安定特異点型D-varuとして定義する。このsheefがmoduli空間上locally freeかどうかを永友-土屋の論文で論じた。
昨年よりこの問題について考察を行い、次の結果を得た。
①余真空の空間はmoduli空間上locally freeである。
②boundaryに沿って因子化定理が現れる。
この結果は、現在論文を執筆中である。また、この定理の証明の過程で、次の定理を得た。すなわち、「Quasi-fits finite vertex operator algebra表現のつくるアーベル圏が半単純であることと、零mod代数が半単純であることは同値である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
この数年来、Quasi-fits finite vertex operator algebraにassociateしてgenus zero上の N点付き安定曲線のmoduli空間上N体の余真空の空間の研究と、quasi-fits finite vertex operator algebraの例としてはA1型拡大W代数の研究を行なった。余真空の空間については最終結果を得た。
A1型拡大W代数については、数年前に発表したS. Wood氏との共著論文以来進展がなかったが、共形ブロックの姿が明瞭になってきた。A1型拡大W代数のprojective objectsの構造の決定を行なった。Mpと呼ばれる場合に関しては永友氏との共著論文に書いた。これを一般の場合に拡張することに進展が見られた。
この結果は、次に予定しているQuasi-fits finite vertex operator algebraの表現のつくるアーベル圏にfusion tensor structureを定義する際の重要な役割を担うと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
Quasi-fits finite vertex operator algebra の表現のつくるアーベル圏上にfusion tensor structureを定義することが目的である。
その内容は、Quasi-fits finite vertex operator algebraの表現のつくるアーベル圏上bt-formatとしてfusion tensor積を定義し、結合法則の交換法則が成立し、①互にhr fanctureとしてexactであること、②dualityとの関係を示すこと、が重要である。
このために最近確立したN体の余真空の空間のlocally free modが重要な鍵となる。拡大W代数Mpの場合は、数年前にS. Wood氏との共著論文で国際雑誌に発表している。その段階では全真空の空間の考察がなされていなかったが、Frobinus tensor structureを解析し、さらに拡大W代数を例として考察することが重要である。
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| Causes of Carryover |
東北大学理学部の長谷川浩司氏と同研究室の大学院後期課程の学生２名と共同研究を行なう予定であったが、コロナの影響で直接議論ができず、2021年度に改めて行うことにした。
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