Gelfand-Tsetlin basis and geometric representations of elliptic quantum groups

2019 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 17K05195
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Tokyo University of Marine Science and Technology
• Principal Investigator: Konno Hitoshi 東京海洋大学, 学術研究院, 教授 (00291477)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: 楕円量子群 / 楕円コホモロジー / weight function / stable envelope / Gelfand-Tsetlin基底 / 楕円超幾何積分 / 楕円q-KZ方程式 / 幾何学的表現

Outline of Final Research Achievements

Elliptic weight functions have been derived by using the vertex operators of the elliptic quantum group U_{q,p}(sl_N), and identified with Okounkov’s elliptic stable envelopes on the equivariant elliptic cohomology Ell_T(X) for the cotangent bundle X of the partial flag variety. Defining the fixed point classes on Ell_T(X) in terms of the stable classes and basing on this identification, we have shown that the finite dimensional representation of U_{q,p}(sl_N) on the Gelfand-Tsetlin basis can be lifted to the geometric representation on the fixed point classes. Furthermore a formulation of the elliptic quantum toroidal algebras and a construction of their representations have been done. A conjecture on their geometric interpretation has also been obtained.

Free Research Field

数理物理学, 表現論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

Ginzburg-VasserotやNakajimaらによって, アフィンリー環やトロイダル代数あるいはそれらの量子変形代数の表現が, 対応する箙多様体Xに対する同変コホモロジーあるいは同変K-理論上に幾何学的に構成されたことを受けて, これらの楕円コホモロジー上への拡張の存在が予想されていた. 本研究ではこの予想を裏付ける例を具体的に構成した. 最近, 楕円量子群の（幾何学的）表現と3次元の超対称ゲージ理論における鏡対称性やもっと一般に錐的特異多様体のシンプレクティック双対性との関連が指摘されており, 本研究の結果を足掛かりとして, 今後この方向の研究が加速されると期待される.