2018 Fiscal Year Research-status Report
Stratifications of the moduli space of abelian varieties and that of curves
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17K05196
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
原下 秀士 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 准教授 (70396852)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 代数幾何学 / 代数曲線 / 超特別曲線 / 超特異曲線 / 最大曲線 / p-可除群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
工藤桃成氏（神戸市立工業高等専門学校助教）と当研究室の千田駿人君との共同研究により、標数５以上で必ず種数４の超特異曲線が存在することを証明することが出来た。標数２、３では既に種数４の超特異曲線の存在が示されているため、任意の標数での種数４の超特異曲線の存在が示されたことになった。種数３以下の場合はDeuring, Serre, Ibukiyama, Harashimoto, Katsura, Oortらによる研究で90年代はじめまでに示されていたが、種数４の時の任意の標数での存在は全く示されていなかった。当研究の存在性の証明は、二つの楕円曲線の射影曲線上のファイバー積を用いるもので、この曲線は E. Howe によって調べられていたが、存在性に用いることができることは全く考えらていなかった。非常に大きな結果を得ることができた。論文は既に arXiv に投稿している。
また、工藤氏との共同研究で、超楕円の超特別曲線の数え上げアルゴリズムを提示し、種数４で高度な計算手法を駆使し比較的大きな標数においても数え上げに成功した：この研究成果は WAIFI2018 での口頭発表に採択され、発表を行った。その内容は LNCS 11321 に掲載された。
また、種数５の trigonal 超特別曲線の数え上げについて、工藤氏と共同研究を行った。種数５の trigonal 超特別曲線のより明示的な実現、簡約化、フロベニウス射の具体的記述、による、超特別曲線の効率的な数え上げアルゴリズムの提出に加え、高度な計算手法を用い、低標数での数え上げを行った。その成果は MEGA2019 に投稿し、ポスター発表に採択された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
任意の標数での種数４の超特異曲線の存在を示すことが出来た。予期していた以上の大きな成果を得ることが出来た。
また、前年度から引き続き、種数４の超楕円曲線や種数５のtrigonal曲線で超特別なものの数え上げのアルゴリズムの提出や低標数での数え上げについて研究を行い、成果をあげることが出来た。
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| Strategy for Future Research Activity |
種数４での成功を発展させ、より大きな標数（先ずは種数５）でも同様の研究が出来る可能性があるため、早急に取り掛かりたい。工藤氏や当研究室の大橋君と共同研究の予定である。また当研究室の樋口君との共同研究として、p-可除群の``モジュライ空間"に入る leaf の境界について調べる予定にしている。樋口氏は境界を list up する手法をもっており、同種の扱いの研究と組み合わせることにより、leaf の境界の決定問題に対し、解答を与えたいと思っている。
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| Causes of Carryover |
計画にはなかった工藤氏のBergenでの研究発表のための旅費等の旅費関係の支出が増え、その代わりPCの購入を控えたため、その差額により次年度使用額として残ることになった。物品の購入や国内出張費として支出する予定である。
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