2018 Fiscal Year Research-status Report
The embedding structure, defining ideals and the projective m-normality of projective varieties
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17K05197
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
野間 淳 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 教授 (90262401)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 射影多様体 / 斉次イデアル / 定義方程式 / 射影埋め込み / m正規性 / カステルヌーボーマンフォード正則数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，代数多様体の射影空間への埋め込みの構造を，定義方程式や定義イデアル，そのシジジーなどの代数学的な対象と線形射影や超曲面の作る線形束などの幾何学的な対象との相互関係に着目して調べることである．昨年度に引き続き，射影多様体Xが次数d，次元n,余次元eのとき，「Xを含む次数(d-e+1)以下のすべての超曲面の共通部分はXと一致する」「(d-e)次以上のすべての超曲面が作る線形束はX上で完備である」を証明する問題の解決を目指し研究を行った．点からの線形射影がXとその像との双有理写像を引き起こさないような射影の中心点を，非双有理中心点またはセグレ点と呼び，特にその点がXの外にあるとき外セグレ点，Xの非特異点のとき内セグレ点と呼ぶ．外セグレ点全体をB(X),内セグレ点全体をC（X）と表し，それぞれ外セグレローカス，内セグレローカスと呼ぶ．
今年度は，昨年度までの研究の再検討とまとめを行いつつ，外と内のセグレローカスの既約成分の数の上限を与えることに重点をおいて研究し，次の結果を得た．第１に，射影曲線に対して，外と内のセグレローカスは有限集合であることがわかっているので，外と内のセグレ点の数の上限を，線形射影の２重点因子を調べることにより，次数と余次元さらに算術種数を使って与えた．第２に，非特異射影多様体に対して，この場合も外と内のセグレローカスは有限集合であることがわかっているが，第１の方法を適用することで，外と内のセグレ点の数の上限を次数と余次元を含む標準因子に関する交点数で与えた．第３に，一般の射影多様体に対して，第１，２とは別の方法によって，外と内のセグレローカスの既約成分の個数の上限をと次数と次元，余次元で与えた．これらの上限には改良の余地があり，さらに技術的な補題を証明することにより改良できることが期待され現在進行中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
計算機を使った実例の計算を十分に行えていない面はあるが，研究目的に向けて，幾つかの成果が得られていること，さらに新たな知見が得られたことでこれまでの成果を再点検することにより新たな展開が期待できそうであるため．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度までに得られた結果を再検討するとともに，これらをより使いやすい定理や命題にまとめて論文として発表する．また，国内外の研究集会に参加して，口頭発表を行って，研究者との情報や意見の交換により幅広い視点からの研究の展開を目指す．具体的な研究内容としては，いろいろな例で外と内のセグレローカスを求めること，特にその計算機代数プログラム上での計算を行っていき，より多くの具体例を観察することを目指す．
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| Causes of Carryover |
研究集会を計画していたが協力者との相談により，２０２０年３月に行う予定に変更したため．また，予定していた海外出張が都合により実行できず，２０１９年に行うことにしたため．後半に予定していた計算機の導入を研究の進捗状況により２０１９年に導入することに変更したため．これらの予定は，次年度実行していく．
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