The embedding structure, defining ideals and the projective m-normality of projective varieties

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05197
• Research Institution: Yokohama National University
• Principal Investigator: 野間 淳 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 教授 (90262401)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 射影多様体 / 斉次イデアル / 定義方程式 / 射影埋め込み / 線形射影 / 超曲面

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は，代数多様体の射影空間への埋め込みの構造を，定義方程式やそのイデアル，シジジーなどの代数的対象と線形射影や超曲面の作る線形束などの幾何的対象との関係に注目して調べることである．引き続き，射影多様体Xが次数d，次元n,余次元eのとき，「Xを含む次数(d-e+1)以下のすべての超曲面の共通 部分はXと一致する」「(d-e)次以上のすべての超曲面が作る線形束はX上で完備である」という予想を示すことを目指し研究を行った. 点からの線形射影がXとその像との双有理写像を引き起こさないとき，射影の中心点を非双有理中心点またはセグレ点と呼ぶ．セグレ点がXの外にあるとき外セグレ点，Xの非特異点のとき内セグレ点，それぞれの全体を外セグレローカス，内セグレローカスと呼ぶ．
2020年度は，外と内のセグレローカスの既約成分の数の上限を与えた前年度までの結果のまとめることに重点をおき，再検討と改良を行なった．特に，セグレ点からの線形射影の写像度を指数と呼び，この数を考慮に入れ得られていた結果をさらに改良した.射影多様体Xに対して，外と内のセグレローカスの既約成分の個数の和の数を，X を含みセグレローカスに沿って特異点をもつ超曲面を構成することによって，Xの次数と次元，余次元，セグレローカスの指数で上から抑える不等式を改良した．これは，交点理論での過剰交点の計算の応用によるが，過剰交点の計算で現れる重複度を，当研究課題の状況に沿って下から評価する部分に改良を加えた．これを通じて，過剰交点の計算の際に現れる重複度を幾何学的に特徴づけるという問題は，応用上でも重要であり今後の研究課題であることが明らかになった．ここで得られたセグレローカスの既約成分の個数の上限が，実際の場合に最適な条件であるかどうかの検証と更なる改良の検討は，今後の研究課題である．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

研究成果のまとめのために必要な検証が，想定した時間を越えてかかってしまったためであるが，現時点で検証の完了とまとめの終了の目処が立っている．また，研究結果についての情報交換が，感染予防のため十分に行えなかった．さらに，予定していた，研究の今後の展望のための研究集会の開催を再延期した．

Strategy for Future Research Activity

現在の結果を論文にまとめて発表する．更に，得られた評価が良いものであるかどうか証明を検討し可能ならば改良するため，計算によって得らる実例と比較しする．これをもとに結果を改良をめざす．また，研究者との情報交換や意見交換を行って，多角的な視点からの研究展開を目指す，情報交換は，状況を鑑み，オンラインで行うことも検討する．具体的な研究内容としては，引き続き，セグレローカスを持つ射影多様体を構成すること，それらと既存の例をもとに，外と内のセグレローカスを求めることを計算機代数で実行する．さらに他方で，射影多様体のニ重点因子を求めることを行い，具体例を集めて観察し，予想される結果を更に探る.

Causes of Carryover

予定していた研究集会の開催を，感染症の予防のため，再度先送りしたため．また，予定していた計算機による計算が進捗状況によりおくれているため．これらの予定を次年度に実行するため，研究費を利用していく.