2018 Fiscal Year Research-status Report
Research on open algebraic surfaces and normal algebraic surfaces
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17K05198
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
小島 秀雄 新潟大学, 自然科学系, 教授 (90332824)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 代数幾何学 / 対数的小平次元 / 開代数曲面 / 正規デルペッゾ曲面 / 導分 / 多項式環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は主に多項式環上の導分とその核、対数的小平次元が0の開代数曲面、および、ピカール数1の正規デルペッゾ曲面の構造について研究を遂行し、次のような成果を得た。
(1) 高橋剛氏と共同で、巡回型商特異点ではない商特異点を持つピカール数1の対数的デルペッゾ曲面について、それが複素アフィン平面を持つための特異点のタイプに関する必要十分条件を得た。また、高々対数的標準特異点を持つピカール数1の正規デルペッゾ曲面に含まれる非klt特異点は高々1個だけとなることを証明した。これらの結果は前者は高橋氏との共著論文として既に出版され、後者については論文を投稿中である。
(2) 標数0の体上の2変数多項式環上の単項式導分 (変数の像が単項式になる導分) について、定数でない有理式を核に持つ場合を分類した。これは単項式の係数が1になるものに限定して決定したNowicki氏とZielinski氏による手法と類似の手法で分類することができるが、ここでは単項式の係数を1とは限らない形で分類している。この結果は研究代表者が指導している大学院生の結果と合わせて共著論文とし、学術雑誌に投稿中である。
(3) 昨年度の研究の続きとして、任意標数での対数的小平次元が0となる開代数曲面で不足数が1以下となる場合について、その対数的極小モデルを決定した。特に、曲面が有理曲面で無い場合はその不足数は2以上になることが分かった。更に、これらの結果を用いて、任意標数でのアフィン平面曲線で補集合の対数的小平次元が0になるものを分類した。これらの結果は論文にまとめて現在、学術雑誌に投稿中である。
上記の研究成果について、研究集会での研究発表や研究打ち合わせを行った。特に、上記の(1)についてはポーランドでの国際会議での招待講演とそこでの研究打ち合わせにより、研究が進展した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は主に、(1) ピカール数1の高々有理的対数的標準特異点のみを持つ正規デルペッゾ曲面の分類の遂行、(2) 2変数多項式環上の単項式導分で定数でない有理式を核に持つ単項式導分の分類、(3) 対数的小平次元が0で不正則数 (注. 研究業績の概要では別の量に替えた) が正になる開代数曲面の構造、について研究する予定であった。これらの内、(2)と(3)については概ね予定通りに研究が進展し、平面曲線の補集合で対数的小平次元が0になるものの分類という当初予定していなかった成果を得ることができた。(1)については、特異点の個数が多いものの分類を行うことはできなかったが、副産物として研究実績の概要の(1)で書いた成果を得ることができた。
今年度の研究計画は研究開始当初に予定していたものを少し修正し、当初よりも少ないものに変更したが、上の段落にある通り、研究はおおむね順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究で得られた成果から、ピカール数1の正規デルペッゾ曲面と不足数が1以下となる開代数曲面の研究を更に深化させることが必要であることがあることが分かった。従って、当初の研究計画を少し変更し、次年度は次のような課題について研究を行う。
(1) ピカール数1の高々有理的対数的標準特異点を持つ正規デルペッゾ曲面について、その非特異部分の対数的極小モデルを構成する。その構成を詳しく調べることにより、kltでない特異点を持つ場合を分類する。高橋剛氏、岸本崇氏、K. Palka氏等と協力しながら研究を行う。(2) 不足数が1以下となる、対数的小平次元が1以下となる開有理曲面の構造をこれまでに得られた結果を用いて調べ、特に平面曲線の補集合やHirzebruch曲面上の曲線の補集合として現れる曲面の場合について調べる。更に、対数的小平次元が非負のとき、対数的n種数が正となるnの値を開代数曲面の構造定理を用いて調べる。伊藤浩行氏や岸本崇氏と協力しながら研究を行う。
上記の研究を遂行するために新たに必要となる代数幾何学関係の図書と研究論文を購入する。また、8月下旬に高知工科大学で開催される代数曲面に関する研究集会、10月に城崎で開催される研究集会、および、12月にRIMSで開催される研究集会において、今年度までに得られた研究成果を含めて得られた研究成果を発表し、研究打ち合わせを行う。特に、上記の(2)の研究は代数多様体の有理点の研究とも関係があると予想されるので、当該分野の研究者とも研究打ち合わせを行う予定である。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が82,513円生じているが、研究を遂行する上で必要となる代数幾何学関係の図書の購入に充てた。
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