2017 Fiscal Year Research-status Report
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17K05199
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| Research Institution | Toyohashi University of Technology |
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Principal Investigator |
伊藤 公毅 豊橋技術科学大学, 工学部, 准教授 (30456842)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | q差分ド・ラーム理論 / ジャクソン積分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、１次元の場合について、twist de Rham理論のq類似を(層係数コホモロジーの文脈で)構築することに成功した。ド・ラームコホモロジーについては研究開始の直前に得られており、これについて口頭発表を行った。また、qサイクルのホモロジーについても構築でき、口頭及び本学紀要で発表した。さらに、１次元の場合のリーマン・ヒルベルト型の主張の一定式化も得られた。
qの世界では「接空間」の定義が困難である。そこで、高次のq差分作用素もこめて考える方がすっきりゆく。そこで、q差分加群を導入した。その為にあるsiteを導入した。（但し、それだけではq差分作用素の層はうまく張り合わないため、そのsiteの「被覆」として単体的空間を更に導入した。）ド・ラーム複体は、q差分加群の解複体（の双対）として定義される。
この複体は（適当な「特異点の補集合」上で）局所擬定数の層（楕円曲線の構造層の引き戻し）となる。更に、これを楕円曲線上におとしたものがベクトル束となることと、もとのq差分加群が「標準延長」をもつことが等価である、ことがみえてきた。これが、一つのリーマンヒルベルト対応である。
qサイクルについては、線分[qa,a]の１次結合では不十分である。原点をまわるループの役割をqの世界で担う対象が必要である。これは、（古典的な意味での）微分形式が担ってくれることがわかった。（これは、楕円曲線上でのセール双対性の文脈から理解できる。）
尚、高次元の場合については、階数１の「ホロノミック」q差分加群の分類を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1次元の場合のド・ラーム理論について、完成し発表した。特に、qサイクルのホモロジーについての定式化がほぼ計画通りに得られた。（但し, 楕円量子群との関係は未だ調べられていない。）いずれも論文としての発表が未だ為されていない。一方、高次元の場合について、考察はすすんでいるがまだできていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記で述べたことに関して現在執筆中に論文を早急に完成させる。並行して, qサイクルのホモロジーのより突っ込んだ理解, （遅れている）高次元の場合についてこれまで考察してきたことを、きちんと詰めて行く。
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| Causes of Carryover |
１月末から２月頭にかけて２週間イタリアに出張した。また、３月には東京、熊本と出張が相次いだ。これにより、不足金が発生せぬようする必要があったため、使用をすこし控えたことにより、次年度使用額が生じた。昨年度、控えた為執行できなかった分（主に書籍の購入）に充てることを計画している。
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