2018 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
17K05199
|
|---|
| Research Institution | Toyohashi University of Technology |
|---|
Principal Investigator |
伊藤 公毅 豊橋技術科学大学, 総合教育院, 准教授 (30456842)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | q差分ド・ラームコホモロジー |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
平成29年度中に、ド・ラームコホモロジーやサイクルのホモロジーのアドホックでない定義を得ており、これについて(29年度末の数学会に引き続き)、韓国UNIST、アクセサリーパラメータ研究会にて講演発表を行った。発表及び討論を経て以下の進展があった(特に、1,3,4,5は高次元においてq差分加群の理論を構築する上で大事な視点を獲得したことを意味する)：
1.(高次元の場合を含め)階数1のホロノミック系の分類はb函数の分類(佐藤)に帰着される(が、別法で同じ結果を得た)。一方、多変数1次函数の冪乗はこのクラスに入らないことが明白となった。(この点は、29年度末の学会発表後に関連の議論をしていた。)
2. ド・ラームコホモロジーやサイクルのホモロジーの有限次元性を補償するためには、「q方向爆裂によるコンパクト化」が必要であることが見出された。
3. 対角線イデアルの冪乗の代わりに、sfhited factorialを考えることが有効であることが見出された。(これは非可換変数での冪乗と捉えられる。) このイデアルによる完備化としてを形式q近傍と呼ぶべきものが得られた。これは、「q方向爆裂」によって付け加えられた例外集合の形式近傍と理解でき自然なものである。
4. D加群の理論において、フィルター付けにより非常に重要なデータが得られる。一方q差分加群では、フィルター付けについて、そのままの類似をたどることは難しい。この点について、やや弱い構造で代用し、弱点を補う付加構造(はり合わせ)を見出すことができた。
5. 私が考案しここまで用いてきた「位相」でも十分機能していたが、より普遍性のある「位相」を見出した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
1次元の場合について云えば、論文としての発表が未だなされていないという点で、遅れていると言える。前述「研究実績の概要」でも述べた通り、口頭発表に続く研究討論等を通じ、新たに得られた知見があり、これを踏まえてマイナーチェンジを行う必要が出てきたためである。ただしこの知見により、高次元の場合についての「正しい」方向づけがなされたと考えられる。この意味では、30年度計画の「q差分加群の理論の整備」について難しい局面は超えているのではないか、と思われる。また、31年度計画の「偏屈層のq類似」、「リーマンヒルベルト対応」について、その定式化まではスムーズに進めるであろうと考えられる。
|
| Strategy for Future Research Activity |
1変数についても、前述「研究実績の概要」2,3,5での知見をもとにマイナーチェンジ、書き換えが必要である。この書き換えと並行して論文として取りまとめ発表する。また、30年度中に、q差分加群の理論を整備するための「造成工事」ができている。ここに、q差分加群の理論の整備、併せて、偏屈層のq類似、リーマンヒルベルト対応について令和2年度までかけて行う。具体的には、前述「研究実績の概要」1,3,4,5に応じて、以下の方針で研究を進める:
1. n変数1次函数の冪乗のq類似について、階数1であることを放棄(し階数nを許容)すると、その候補を得ることができる。1変数の場合は問題なく、この場合は量子平面の座標環での冪乗を考えている、と理解することが可能である。n変数の場合は、量子平面ではなく、量子群(の部分環)を考えている、と理解できそうである。ここで、D加群の類似を考えるにあたって、q差分作用素を超えるものをも導入して理論を拡げる。
3. 形式q近傍を用いることで、漸近展開の理論を整備する。これにより、増大度条件を課した函数環を導入することで、環付き空間としての「q方向爆裂」を得る。また、接続問題の「正しい」定式化が得られる。
4. この「弱い」フィルター付け+付加構造により、q余接空間、特性多様体、ホロノミー加群等の定義が得られる。
5. 高次元の場合について、より普遍的な「位相」で書き直す。
|
| Causes of Carryover |
当初30年度には、１変数については論文等での発表がなされ、これについて海外研究者に向けて発信、これに続いての討論を予定していた。しかし前述の通り、新たな知見を踏まえてのマイナーチェンジが必要となったため発表が遅れることとなった。これに伴い、海外研究者に向けての発信が後ろにずれることとなった。そのため、昨年度は海外旅費が必要とならなかった。一方で、令和元年度より研究機関を移ることとなったため、それに伴う費用が必要となった。（移動後に本課題研究遂行上必要なものに対し、次年度使用額で充当することを計画した。）
具体的には、令和元年分に30年度分を合わせることで、後ろにずれている海外出張、移動に伴い新たに補充の必要となった物品の購入に使用する。
|
