2020 Fiscal Year Research-status Report
Construction and evolution of log Hodge theory and applications of the fundamental diagram to geometry
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17K05200
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
臼井 三平 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (90117002)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中山 能力 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (70272664)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 混合ホッジ構造 / 分類空間 / 群作用付 / 対数幾何 / 対数混合ホッジ構造 / 基本図式 / ホモトピー / 志村多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
加藤和也・中山能力・臼井三平による混合ホッジ構造の退化に関する共同研究シリーズの V: テンソル関手としての群作用付混合ホッジ構造の分類空間のコンパクト化の投稿版仕上げが間近になった。これはファイルを3つに分け10日毎に受け持ちを変えて行くという形態による共同研究を2年余続けてきた結果で、今年度は次のようなところをしっかりと詰めることができた：モノドロミー重さ篩の族ごとに作ったSL(2)軌道の空間の部品を貼り合わせて全体の空間を作った；ワイル扇による対数的変形を使ってSL(2)軌道の空間とボレル・セール軌道の空間をつないだ；グリフィス横断性を持つものの中で対数的混合ホッジ構造を生成するものは強位相の意味で開集合となるということを使って、冪零軌道の空間からSL(2)軌道の空間への写像の連続性を示した。
基本図式に登場する３大主役は冪零軌道の空間、SL(2)軌道の空間、ボレル・セール軌道の空間であり、対数構造を使った変形（modification）を使ってそれらを関係付けた基本図式としてまとめることができる。この図式は大きく分けて、左側が複素数体上のはなしで右側が実数体上のはなしとなっており、この二つは、SL(2)軌道定理を使って作られる連続写像でつながっている。ここがこの基本図式の核心部分である。さらに今年度はこの図式を構成するときに使った対数構造を使った変形をホモトピーの立場から見ることができるようになって、全貌が鮮やかに浮かび上がってきた。
応用例として、志村多様体の場合の基本図式の簡略な記述もVの論文に取り入れた。
この方向での研究をすすめることにより、ミラー対称性に対する理解も深まってきつつある。例えば、壁超えはワイル扇による変形を使ったSL(2)軌道の空間とボレル・セール軌道の空間の関係の中で捉えることができそうである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1. 加藤・中山・臼井, Classifying space of degenerating mixed Hodge structures, V: extended period domains and algebraic groups の投稿版の仕上げが間近になった。今年度は次のようなところを詰めることができた：符号付き対数構造と縁を持つ実解析空間としてのSL(2)軌道の空間を組み上げた；ワイル扇による対数的変形を用いてSL(2)軌道の空間とボレル・セール軌道の空間を関係付けた；冪零軌道の空間からSL(2)軌道の空間への写像の連続性の証明を仕上げた。
2. 対数構造を使った変形のホモトピー性が分かってきて基本図式の中での冪零軌道の空間、SL(2)軌道の空間、ボレル・セール軌道の空間の関係が際立ってよく見えてきた。
3. 応用例として、志村多様体の場合の基本図式を記述した。
以上のうち、1 は時間がかかったが予期した通りに出来上がりつつある。2, 3 は予想を超えて進んだ。
コロナ禍の影響で計画していた対面でのセミナーや研究集会はできなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
加藤・中山・臼井による混合ホッジ構造の退化に関する共同研究シリーズ V: Extended period domains and algebraic groups の投稿版は完成間近になった。まずこれを仕上げて投稿する。
これに続き対数的変形や対数的比の空間のホモトピー性という見方を基本図式に加えると、冪零軌道の空間、SL(2)軌道の空間、ボレル・セール軌道の空間の関係が際立ってよく見えてくる。この立場で対応する幾何の研究を進めていきたい。ミラー対称性もこの枠の中で理解したい。
さらに混合ホッジ加群と対数的混合ホッジ構造を統合する対数的ホッジ加群の圏で半単純性を持つものを見つけたい。
加藤和也は2009年にシカゴ大学へ移ったので、実務的には分担者となってもらうのは困難だが、加藤・臼井の共同研究は20年以上、中山も加わった共同研究は10年以上続いており、現在も進行中である。普段はメールで議論をしている。今はコロナ禍で対面でのセミナーや研究集会はできないが、事態が落ち着けば対面での活動も再開したい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナ禍により予定していた旅費を使用しなかった。
次年度の研究用旅費および物品費に加えて使用する予定である。
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