2021 Fiscal Year Research-status Report
Construction and evolution of log Hodge theory and applications of the fundamental diagram to geometry
| Project/Area Number |
17K05200
|
|---|
| Research Institution | Osaka University |
|---|
Principal Investigator |
臼井 三平 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (90117002)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中山 能力 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (70272664)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 混合ホッジ構造 / 分類空間 / 群作用付 / log幾何 / log混合ホッジ構造 / 基本図式 / log実解析関数 / log無限回可微分関数 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
加藤和也・中山能力・臼井三平による混合ホッジの退化に関する共同研究シリーズの Part V: Extended period domains and algebraic groups (http://arxiv.org/abs/2107.03561)、とその応用としての Toroidal compactifications and Borel--Serre compactifications (http://arxiv.org/abs/2107.10999) の論文を仕上げて投稿しarXiv に公表した。
テンソル関手としての群作用付混合ホッジ構造の分類空間の境界として冪零軌道、SL(2)軌道、Borel--Serre軌道を付け加えた部分コンパクト化とそれらを関係づける亜種の空間や写像からなる基本図式を構成した。この中で鍵となるのは、冪零軌道の空間に偏角の情報と比の情報を付け加えた亜種の空間に持ち上げてそこからSL(2)軌道の空間へ連続写像（CKS mapと呼んでいる）を構成したというところである。これが上記の Part V で、その応用としての2つ目の論文では、志村dataからくる場合にGoresky--Taiが示したreductive Borel--Serreコンパクト化のコホモロジーからトロイダルコンパクト化のコホモロジーへの準同型写像を、一般の場合に拡張できることを示している。
引き続き作成中の共同研究 Part VI では、log実解析関数、log無限回可微分関数を定義し研究し、SL(2) 軌道定理の幾何学的な新解釈をして、CKS map の実解析性を証明し、積分を調べて log Poincare lemma を証明している。
また別に準備中の論文では log Hodge 理論を使って Deligne-Beilinson コホモロジー環の簡明な記述を与えている。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1. 加藤・中山・臼井の共同研究により次の2つの論文を仕上げて投稿しarXivに掲載した。Classifying space of degenerating mixed Hodge structures, V: Extended period domains and algebraic groups. Toroidal compactifications and Borel--Serre compactifications.
2. 現在進行中の共同研究の Part VI では、log実解析関数、log無限回可微分関数を導入して、CKS map の実解析性とlog Poincare lemma を証明している。
3. 別に準備中の論文では log Hodge 理論を使って Deligne-Beilinson コホモロジー環の簡明な記述を与えている。
1と2の中 Part V は予期した通りに出来上がり、それの幾何への応用の第一歩となる論文 Part VI へと進んでいる。
1の2つ目の論文と3 は予想を超えて進んだ。コロナ禍の影響で計画していた対面でのセミナーや研究集会はできなかった。
|
| Strategy for Future Research Activity |
加藤・中山・臼井による混合ホッジ構造の退化に関する共同研究シリーズの Part VI: Log real analytic functions and log C^{infinity} functions 並びに Deligne--Beilinson cohomology and log Hodge theory の２つの論文の仕上げを進める。
対数的変形や対数的比の空間のホモトピー性という見方やlog実解析関数、log無限回可微分関数を基本図式に加えると、冪零軌道の空間、SL(2)軌道の空間、Borel--Serre軌道の空間の関係が際立ってよく見えてくる。この立場で対応する幾何の研究を進めていきたい。ミラー対称性もこの枠の中で理解したい。さらに混合ホッジ加群と対数的混合ホッジ構造を統合する「対数的ホッジ加群」の圏で半単純性を持つものを見つけたい。
加藤和也は2009年にシカゴ大学へ移ったので、実務的には分担者となってもらうのは困難だが、加藤・臼井の共同研究は20数年、中山も加わった共同研究は10数年続いており、現在も進行中である。普段はメールで議論をしている。今はコロナ禍で対面でのセミナーや研究集会はできないが、事態が落ち着けば対面での活動も再開したい。
|
| Causes of Carryover |
新型コロナ禍により予定していた旅費を使用しなかった。次年度に研究用旅費および物品費として使用する予定である。
|
