2018 Fiscal Year Research-status Report
Studies on canonical and n-canonical modules
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17K05203
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
橋本 光靖 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (10208465)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | エタール射 / 不分岐射 / purity / 擬有限 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
与えられた代数多様体の間の射がいつエタールになるかは重要な問題である。Zariski と永田雅宜は、f: X -> Y がネータースキームの間の擬有限な射で、Y が正則、Xが正規で、ある X の閉集合 F でcodim(F,X) ≧ 2 で、f が X - F 上でエタールと仮定すると f がエタールであることを示した。このことは purity of branch locus の名で知られている。今回、この事実は、Y がエクセレントで、ある体 kについて k スキームである、という条件のもとで、f が擬有限という仮定を外すことができた。証明は完備化を経た後、加法群 G_a^n の無限小作用を用いる。この点が体上のスキームであることを仮定せざるを得なかった理由であり、体上ではない場合が課題として残った。
また、R が体 k 上有限生成かつ positively graded な次数付き k 代数で、M と N が R 上有限生成次数付き加群とするときに, M_m と N_m が R_m 同型であれば M と N は R 加群として同型か、という問題について、肯定的であることを示した。より強く, M の m 進完備化と N のそれが R' 上同型であれば M と N が同型であることを示した。ここに m は R の無縁イデアルで, R' は R の m 進完備化である。関連して、M_m が R_m 加群として直既約であれば、M は次数付き R 加群として直既約であることも示した。この事実は次数付き加群を考察する上で、同型の問題が次数付き加群としての問題に還元されることから意味のある主張であると考える。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
今回得られた成果は十分満足すべきレベルに達したの結果だと考えられる一方で、
この成果が標準加群、n 標準加群の研究との関連で成果を産まなければ本研究課題が十分に達成されたとは言い難い。残された研究期間では、上記結果を本研究課題に応用できないかを考える。また、課題として残された体上ではない場合についても考察を加え、より完成された結果とすることを目指すことが求められていると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
あと１年間で研究をまとめることが必要である。代数幾何学と可換環論を結びつけることが最終的な成果につながると考えられるので、この両者をよく理解している研究者との連絡を密にし、研究を行う。体上ではないケースの擬有限の仮定を除いた purity of branch locus について、考察を加える。
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| Causes of Carryover |
海外に出かける計画を先延ばしにしたため、旅費として使用予定だった金額が残った。これを実行するとともに、東京、岡山の研究相手とのやりとりを行い、また必要な研究者の招聘を行うので、研究費は消化される予定である。
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Research Products
(1 results)
