Studies on canonical and n-canonical modules

2020 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 17K05203
• Research Institution: Osaka City University
• Principal Investigator: 橋本 光靖 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (10208465)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 標準加群 / ｎ標準加群 / エタール射 / Zariski-Nagata の定理

Outline of Annual Research Achievements

与えられた代数多様体の間の射がいつエタールになるかは重要な問題である。Zariski と永田雅は、f: X -> Y がネータースキームの間の擬有限な射で、Y が正
則、Xが正規で、ある X の閉集合 F でcodim(F,X) ≧ 2 で、f が X - F 上でエタールと仮定すると f がエタールであることを示した。このことは purity of
branch locus の名で知られている。今回、この事実は、Y がエクセレントで、ある体 kについて k スキームである、という条件のもとで、f が擬有限という仮
定を外すことができた。証明は完備化を経た後、加法群 G_a^n の無限小作用を用いる。この点が体上のスキームであることを仮定せざるを得なかった理由であ
り、体上ではない場合が課題として残った。擬有限の仮定が外せたが、f がエタールであるという定理の結論を認めれば、もちろん f は擬有限であり、定理の適用範囲が広がったわけではない。しかし、最初から擬有限の仮定をおかなくても良いということは定理の使い勝手の点では改良であり、実際の場面で適用できる範囲を広げていると考えている。
この定理を適用した応用を最終年度は考え、標準加群の振る舞いについて調べていたが、残念ながら目に見える成果には結びつかなかった。