2018 Fiscal Year Research-status Report
Quandles in algebraic and arithmetic geometry
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17K05204
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
高橋 宣能 広島大学, 理学研究科, 准教授 (60301298)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | カンドル / 代数多様体 / 代数的整数論 / Lie山口代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. カンドル多様体上の加群について、カンドル多様体が特に正則s多様体と呼ばれるものの場合には、正則s多様体上の「正則」な加群と自己同型付きLie山口代数の表現の間に対応があることがすでに分かっていた。このことの証明には、正則s多様体と自己同型付きLie山口代数の対応を調べることが必要となるが、今年度はこの点についてより詳細な研究を行った。特に、正則s多様体の間の準同型は必ずしも内部自己同型群やtransvectionの群の間の準同型を定めないことがわかっていたが、一方で自己同型付きLie山口代数の間の準同型は定める。後者の証明として複数の方法によるものを考えた。これにより、加群と表現の対応について見通しの良い議論が可能となった。また、関連するFedenkoの結果や、Fedenkoが定めた3種類の部分空間との関係について調査した。以上については、口頭での発表を行った。論文は現在作成中である。
2. 数論的多様体に付随するカンドルについては、これまで有限体を剰余体とする点の集合を考え、そのガロア被覆における逆像にカンドルの構造を定め、多様体の復元の問題を考察してきた。今年度は、たとえば数論的多様体として代数的整数環のスペクトラムから有限個の点を除いたものとするとき、除いた点での完備化の商体の逆像を考え、多重共役カンドルの構造などを考察した。
3. その他、対数的BPS不変量と局所BPS不変量の関係に関する研究を Jinwon Choi氏、Michel van Garrel氏、Sheldon Katz氏との共同で進行しており、その一部についてはすでに論文を発表している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
正則s多様体の準同型と自己同型付きLie山口代数の準同型の間の関係について既存の結果の調査を行う必要があったが、Fedenkoによる結果がロシア語で書かれており、英文での解説が見当たらないこともあり手間取った。
また、代数的整数環のスペクトラムから点を除いたものと除いた点での完備化の商体から定まる代数的構造については、必要となる数論的な事実の調査・習得に時間がかかっている。
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| Strategy for Future Research Activity |
カンドル多様体については、その微分幾何版である smooth quandle の研究が進展中であるので、専門家との議論を行いカンドル多様体上の加群の研究につなげたい。
数論的スキームから得られるカンドルについては、有理数体の低次の拡大に関する結果を調査し、付随するカンドルについて何が言えるか調べる。
また、対数的幾何学との関係などについても考えたい。
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| Causes of Carryover |
今年度も個人での理論的な研究が主となったため、謝金を使用しなかったこと、また当初計画していた計算機の購入を行わなかったことが、次年度使用額が生じた主な理由である。
次年度は、当研究に密接に関わる研究を行なっている微分幾何学の研究者を招聘する等、旅費などに用いるとともに、適切な時期に計算機を導入する予定である。
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