2017 Fiscal Year Research-status Report
Elliptic surfaces and the topology of plane curves
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17K05205
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
徳永 浩雄 首都大学東京, 理学研究科, 教授 (30211395)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 楕円曲面 / Zariski pair / 曲線配置 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2017年度は2つの論文を出版した：[1] On the topology of arrangements of a cubic and its inflectional tangents, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 93 (2017), 50-53 (S. Bannai, B. Guervile-Balle, T.Shiraneと共著), [2] Geometry of bisections of elliptic surfaces and Zariski N-plets II, Topology and its Applications., 231(2017), 10 - 25. [1]は，3次曲線とその変曲点での接線からなるZariski対の研究に新たな視点を導入している．[2]は[1]の視点を2015年に発表した手法にに取り込み，Zariski 5組の興味深い例を与えている．
また，2つのpreprinを執筆した: [3] Rational points of elliptic surfaces and the topology of cubic-line, cubic-conic-line arrangements (S. Bannai, M. Yamamotoと共著), [4] On the Abel-Jacobi map of an elliptic surface and the topology of cubic-line arrangements (S. Bannaiと共著) 共にarXivで公開しており，[3]は投稿中である. [3]は論文[1]にあるZariski pair とは異なるcubic-line arrangementを楕円曲面のModel-Weil群を利用して構成しており，[4]では[3]の成果をAbel-Jacobi写像と研究代表者の二面体被覆に理論を用いて精密化し，補空間の基本群が共に非可換群であるようなZarisiki pairの例を与えている．なお，[4]の成果はZargoza大学のArtal Bartolo氏からの[3]の結果へのコメントを受けて得られたものである．
さらに，[1]と[3]のアイデアを用いてquartic-line arrangementのZariski pairに関する論文を坂内，山本と共に執筆中である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2017年度は，概要で述べたように2本の査読付き論文を出版し，2本のpreprintを執筆した．とりわけ，Abel-Jacobi写像を利用したpreprint[4]では単純なアイデアながら，新たな手法を与えている．この手法は他の応用，一般化が期待される．なお，この成果はZaragoza大学を訪問した際，E.Artal Bartolo氏からのコメントからインスピレーションを得て考察したものである．本科研費がなければ得られなかった成果といえる．さらに現在執筆しているquartic-line arrangementのトポロジーに関する論文は，論文[1], preprint[3]さらに昨年白根により導入されたconnected numberを利用している．すなわち，近年の新たなアイデアや手法を融合させて得られたものである．これらの状況から，研究の進捗状況は概ね順調であると判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
次数の比較的低い曲線と特別な位置にある直線や曲線についてその埋め込み位相の研究を推進する．とりわけ，本課題のテーマに「2次被覆の数論」という視点を取り込んだ研究を展開することを考えている．
2次被覆の数論という視点は以前より代表者は持っていたものの，その研究をサポートする結果はあまり得られていなかった．この2-3年の研究成果は，2次被覆の数論という視点が平面曲線の埋め込み位相の研究に有効であることを示しており，このタイミングで研究を推進したい．
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| Causes of Carryover |
予定していた海外の共同研究者の来日について，先方の日程調整がつかず取りやめになったこと，および勤務先の業務の都合で国内出張と取りやめたため，上記の差が生じた．この差については，当該共同研究者の2018年度中の来日や代表者およ浴び連携研究者の国内の出張を増やすこと等で調整する予定である．
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