2017 Fiscal Year Research-status Report

トロピカル幾何を軸とする代数多様体と特異点の総合的研究および工学への応用

Research Project

Project/Area Number	17K05206
Research Institution	Tokyo Metropolitan University
Principal Investigator	小林正典首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (60234845)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2021-03-31
Keywords	トロピカル幾何
Outline of Annual Research Achievements	【トロピカル幾何の基礎】概形は単位的可換環から作られるが，その一般化として，より広い幾何的対象を条件を弱めた代数系から作れることが近年注目を浴びている．研究代表者は特にトロピカル多様体の定式化の観点から，付点モノイドによる概形に注目した．付点モノイドは単位的可換環から加法を忘れたものである（ただし0はもつことが重要である）．まず出発点として梶原・Payneのトーリックトロピカル多様体に対する付点モノイドによる定式化といった基礎的事実について整理を行い，執筆を行いつつ首都大学東京と東北大学で講義を行った．【トロピカル幾何の発展】種数の小さなトロピカル曲線の詳細な分類について東北大学談話会で研究発表を行った．また４月から８月までFalko Gauss氏（マンハイム大）を学振特別研究員（欧米短期）として受け入れ，トロピカル曲線などについての共同研究を開始した．【トロピカル幾何の応用】工程計画問題への応用について，トロピカル多項式から元のネットワーク構造の情報を引き出す研究を継続した．【その他】８月２１日から２５日まで玉原東京大学国際セミナーハウスで研究集会「代数幾何学サマースクール２０１７」（テーマ：Bridgeland安定性と壁越え）を共催した．その際情報収集の補助のため大学院生１名を同行させた．２月１日に京都大学で研究集会「トロピカル幾何ワークショップ」を共催した．８月８日の首都大学東京におけるトロピカル幾何研究集会で講演者旅費と茶菓子代の援助を行った．１０月の城崎代数幾何学シンポジウムには指導する大学院生１名を派遣し情報収集補助を行った．これらの活動を通じて，トロピカル幾何を中心とする代数幾何の情報収集を行った．なお代数学に関する書籍を一点出版した．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 研究実施計画に挙げた内容のうち，特に情報収集と講演者の招聘については，複数の研究集会の共催や海外からの学振特別研究員の受入れなど，計画以上に進めることができた．また，トロピカル幾何の基礎付けについても，付点モノイドに特化して考えることでこの１年で大幅に整理が進んだと感じている．その一方で工程計画問題に対する共同研究は本年度は思うように進めることができなかった．ただしこの点は具体的方策をすでに立ててあるので特段の問題とはならないと考える．
Strategy for Future Research Activity	これまで得られた結果をさらに進めて論文にまとめることが基本である．またトロピカル幾何等をテーマとする国際研究集会に参加して共同研究と情報収集を行う．トロピカル幾何の基礎付けをさらに進め，文献としてまとめる．トロピカル曲線について得られた知見についても論文にまとめる．特異点に関しては最新の知見を得るために代数幾何サマースクールを共催する．工程計画問題への応用についての共同研究を仕上げて論文にまとめる．これは初年度に遅れが見えたところであるので，特に次年度に重点的に推進する．例えば計算補助等にポスドクを短期間雇用したり，連携研究者とまとまった時間，研究集会等で議論をする機会を作ることにしている．研究時間の確保のため，サバティカル制度も活用する．
Causes of Carryover	次年度（平成３０年度）にトロピカル幾何についての非常に重要な国際研究集会がリオデジャネイロ（ブラジル）で行われることが年度途中にわかった．もともと同市で開催される国際数学者会議２０１８に出席を計画してはいたが，延長して情報収集および連携研究者との共同研究を進めることが重要であると考え，そのため２名分の滞在費を追加で確保することが必要になった．已む無く優先度をつけて前年度の活動のいくつか（書籍の購入や海外出張等）を中止しそのための原資に充てることにした．