2018 Fiscal Year Research-status Report
Study on Fano varieties defined over an algebraically closed field in positive characteristic
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17K05208
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| Research Institution | Hiroshima City University |
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Principal Investigator |
齋藤 夏雄 広島市立大学, 情報科学研究科, 准教授 (70382372)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 正標数 / 単純特異点 / ファノ多様体 / 代数幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2018年度も，正標数の代数的閉体上定義された代数多様体の特殊な構造について，局所的視点，および大域的視点の双方に立った研究を行った．
局所的視点からの研究として，2017年度までは主に曲面上に現れる有理二重点の変形空間の構造を調べていたが，今年度は対象を広げて任意次元の単純特異点の変形空間に注目した．標数が3以上の場合，単純特異点の定義方程式は有理二重点の方程式のサスペンションとしてほぼ自明に得られ，変形空間の構造も自然に拡張されるが，標数が2のときは奇数次元と偶数次元で全く状況が異なるため，それぞれにおいて計算を行わなければならない．そこで1次元単純特異点について，変形空間の構造，および中心ファイバーと同型な特異点が生じるファイバーを持つ点の軌跡を調べ，A,D,Eのすべての型についてその局所的な方程式をほぼ明らかにすることができた．これについては，すでに得られた偶数次元の単純特異点に関する結果と合わせ，現在論文を準備中である．
一方大域的視点からの研究としては，2017年度に引き続いてF分裂しないデル・ペッツォ曲面および3次元ファノ多様体を調べた．デル・ペッツォ曲面については次数1の場合が残されており，特に標数が5の場合を中心にF分裂性を持たないものの特徴づけを目指して考察を行った．フェダーの判定条件を用いることで定義方程式に一定の条件が課されることは明らかになっているが，それ以上の詳しい結果はまだ得られていない．また3次元ファノ多様体については，具体例の計算などをいくつか試みたものの，2018年度は特段の知見は得られなかった．
研究にあたっては，国内外の研究者と議論および情報収集を行うことを目的として，函館で行われた研究集会で講演を行ったほか，高知大学，東京大学などで行われた研究集会やカンファレンスにも赴き，他の参加者と活発な議論を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2018年度は，正標数，特に標数2の体上定義された単純特異点の変形空間について特に力を入れて研究を行い，その結果，各特異点の型に対して変形空間およびその中の等特異変形空間の構造を明らかにすることができた．一方，F分裂性を持たないデル・ペッツォ曲面および3次元ファノ多様体の特徴づけについては，具体例の計算や特定の標数における考察などを行ったものの，全体としては大きな成果は得られなかった．
以上のように，研究内容によって進捗状況に差は出ているものの，全体としてはおおむね順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
局所的視点からの研究として，正標数の単純特異点の変形空間の構造を引き続き調べる．特に奇数次元の単純特異点の等特異変形空間について残された部分を解明することを目指すほか，単純特異点の各タイプそれぞれについての最大タウ軌跡がどのような階層構造を持つかを調査したい．
一方，大域的視点からの研究として，3次元ファノ多様体のF分裂性についても調べる．当該多様体の直線のヒルベルトスキームとF分裂性との間に何らかの関連がないかを考察したい．また次数1のデル・ペッツォ曲面についても引き続き，有理楕円曲面の分類から研究を進めたいと考えている．
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| Causes of Carryover |
次年度使用額は1,180円と少額であり，事実上，おおよそ計画の通り執行できたと考えている．次年度も新たな請求分と合わせ，当初の計画通り執行する予定である．
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