2019 Fiscal Year Research-status Report
Study on Fano varieties defined over an algebraically closed field in positive characteristic
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17K05208
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| Research Institution | Hiroshima City University |
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Principal Investigator |
齋藤 夏雄 広島市立大学, 情報科学研究科, 准教授 (70382372)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 正標数 / デル・ペッツォ曲面 / ファノ多様体 / 単純特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度も，正標数の代数的閉体上定義された代数多様体の特殊な構造について，大域的視点，および局所的視点の双方に立った研究を行った．
大域的視点からの研究としては，前年度に引き続いてF分裂しないデル・ペッツォ曲面を調べた．F分裂しないデル・ペッツォ曲面は次数が3以下の場合にのみ存在し，次数3の場合は標数2，次数2の場合は標数2,3のときのみ存在することが，これまでの研究によって明らかになっている．そこで残された次数1の場合について考察を行った結果，標数が5のときにもF分裂しないデル・ペッツォ曲面が存在し，さらにそれが重み付き射影空間においてフェルマー型の定義方程式で与えられるものに一意に定まることを証明することができた．また，その曲面の自己同型群も明らかにし，その位数が標数0において同じ定義方程式で定義される曲面と比較してやや大きいこと，その現象が6次の対称群に外部自己同型が存在するという事実と関係していることを示した．
一方，局所的視点からの研究として，2017年度までは主に曲面上に現れる有理二重点の変形空間の構造を調べていたが，前年度からは対象を広げて任意次元の単純特異点の変形空間の研究を行っている．すでに標数が3以上の場合の探究はほぼ終了しており，今年度は標数2の奇数次元の単純特異点の変形空間の構造について解析を行った．その結果，前年度終了段階で未完成だった局所的な定義方程式の計算や，特異点の構造決定の鍵となるdeterminacyと呼ばれる不変量を，A,D,Eのすべての型について決定することができた．これについては，すでに得られた偶数次元の単純特異点に関する結果と合わせ，現在論文を準備中である．
研究にあたっては，国内外の研究者と議論および情報収集を行うことを目的として，高知大学，九州大学，宇部高専で行われた研究集会で講演を行い，他の参加者と活発な議論を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2019年度は，F分裂性を持たないデル・ペッツォ曲面について特に力を入れて研究を行い，その結果，次数1で標数5の場合に曲面の一意性を示すことができたほか，自己同型群に注目した特徴付けを与えることができた．ここ数年続けている当該研究において，これは重要な進展といえる．また，標数2の体上定義された単純特異点の変形空間についても，奇数次元特異点について等特異変形空間の構造や重要な不変量の計算を進めることができた．一方，F分裂性を持たない3次元ファノ多様体の特徴づけについては，具体例の計算や特定の標数における考察などを行ったものの，全体としては大きな成果は得られなかった．
以上のように，研究内容によって進捗状況に差は出ているものの，全体としてはおおむね順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
大域的視点からの研究として，3次元ファノ多様体のF分裂性についても調べる．当該多様体の直線のヒルベルトスキームとF分裂性との間に何らかの関連がないかを考察したい．また次数1のデル・ペッツォ曲面についても引き続き，有理楕円曲面の分類から研究を進めたいと考えている．
一方，局所的視点からの研究として，正標数の単純特異点の変形空間の構造を引き続き調べる．すでにおおよその計算は終わっているが，奇数次元の単純特異点の等特異変形空間については不変量の決定など考察すべき箇所がまだ少し残っており，その残された部分を完成させて論文としてまとめることを目指す．
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| Causes of Carryover |
2020年2月および3月に国内で行われる研究集会や学会に出張する予定にしていたが，新型コロナウイルスの流行の影響でそれらの研究集会や学会がすべて中止になったため，旅費として使用することを予定していた額を次年度に使用する形になった．次年度においても新型コロナウイルスの流行の状況によって予定通りの出張が難しくなることも考えられるが，可能な限り旅費や物品費を主要な用途として執行していきたい．
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