2019 Fiscal Year Research-status Report
Characterization of polynomials which satisfy local functional equations
| Project/Area Number |
17K05209
|
|---|
| Research Institution | Josai University |
|---|
Principal Investigator |
小木曽 岳義 城西大学, 理学部, 教授 (20282296)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
|
| Keywords | 概均質ベクトル空間 / 相対不変式 / hmaloidal多項式 / 局所関数等式 / 係数付き団代数 / F-多項式 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
局所関数等式を満たす多項式のペアの特徴づけや、非概均質型多項式であるにも関わらず、そのようなペアを探す研究の流れで、以下のような研究をおこなった。
上記の研究目標達成のアプローチとして、(I)既存の局所関数等式を満たす多項式のペアに、ある種の変換を与えたもの同士のペアが、また局所関数等式を満たすか？(II)他分野の中でよい性質を満たす多項式を系統的に作り出す操作に注目し、そこから局所関数等式を満たす多項式のペアが拾い上げられないか考察する。(III)Homaloidal多項式のクラスは概均質ベクトル空間を含むより広いクラスであり、局所関数等式を満たす多項式を多く含んでいるので、homaloidal多項式を探し、その乗法的Legendre変換との多項式のペアを求め、それが局所関数等式をみたすかどうか考察する。2019年度の研究は上記(II)について、係数付きクラスター代数のF-多項式の考察をおこなった。F-多項式は斉次多項式ではないが、weighted homogeneousであり、各homogeneous partについて考察を行った。この係数付きクラスター代数のF-多項式の研究に行きついた経緯は、上記(I)のアプローチで、局所関数等式を満たす昔から知れている概均質ベクトル空間において、3次元概均質ベクトル空間の裏返し変換のtreeにマルコフ3数が現れることから,マルコフ3数と概均質ベクトル空間の関係を調べていた際、有理結び目のKauffman bracket多項式との関係が気になり、量子トポロジーの専門家の和久井道久氏との共同研究をし、そこからA型クラスター代数と有理結び目との有機的な結びつきがみつかった。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画のテーマである局所関数等式を満たす多項式の特徴づけの研究の流れから、homalidal多項式など局所関数等式を満たす多項式のペアを射影幾何学や係数付きクラスター代数の観点から研究した。係数付きクラスター代数に現れるF-多項式は斉次多項式ではないが、weighted homogeneousで、各homogeneous partに注目して研究をしているが、そのままでは、そこからhomaloidal多項式は得られていない、それを足掛かりにしてもう少し考察を深めていく必要があるように思う。この研究目的からは離れるが、副産物として、F-多項式の有理結び目のJones多項式の計算レシピを与えることなどの結果を得た。この結果は和久井道久氏との共著論文として出版された。
|
| Strategy for Future Research Activity |
今後どこにhomaloidal多項式が現れるかを様々な観点から考察してくゆく。当面は係数付きクラスター代数のF-多項式の研究を進め、そこから得られる情報に注目していく。
またそれと並行して、津田塾大学の佐藤文広氏とhomaloidal多項式の極化の局所関数等式の研究の中での未解決問題の解決に取り組み、大阪市立大学の伊師英之氏の等質錐から得られるnon^reductiveな概均質ベクトル空間や、コーダル・グラフから得られる局所関数等式を満たす多項式のぺアの研究にも注目しており、伊師氏とも研究連絡を積極的に行っていく。
|
| Causes of Carryover |
城西大学理学部数学科主任をしていたので、例年に比べ海外出張、国内出張が制限されたのに加え、今年1月以降に予定されていた研究成果発表と研究討議のための海外出張は新型コロナウィルスの関係で、中止せざるを得なかった。
|
