2020 Fiscal Year Annual Research Report
Obstructions to deforming curves on algebraic varieties and a study on their Hilbert schemes
| Project/Area Number |
17K05210
|
|---|
| Research Institution | Tokai University |
|---|
Principal Investigator |
那須 弘和 東海大学, 理学部, 准教授 (30535331)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
|
| Keywords | ヒルベルトスキーム / 変形 / 障害 / ファノ多様体 / エンリケス・ファノ多様体 / K3曲面 / エンリケス曲面 / 空間曲線 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
固定された射影的代数多様体上の曲線の集合には射影スキームの構造が入り、ヒルベルトスキームと呼ばれる。3次元射影空間内の曲線のヒルベルトスキームに対しマンフォードが与えた非被約既約成分の例(1962)を他の3次元射影多様体のヒルベルトスキームの場合に一般化もしくは簡易化する手法を用いて、ヒルベルトスキームの非被約性などその具体的諸性質について理解を深めることが本研究の目標である。研究期間を通じて得られた主な成果は以下の通りである：
1. 非特異3次元ファノ多様体の指数rが1に等しい場合（主ファノ三様体）に、その上の非特異連結曲線のヒルベルトスキームが生成的に被約でない既約成分(generically non-reduced component)を持つことを証明した。r=4の場合はマンフォードにより、r=3とr=2の場合には向井・那須の結果(2009)により、そのような既約成分の存在が知られていた。本研究により残りのr=1の場合が解決し、マンフォードの結果がピカール数1の任意の非特異3次元ファノ多様体へと拡張された。
2. エンリケス・ファノ多様体（EF3）と呼ばれる特異ファノ三様体のクラスに対し、その上の非特異曲線のヒルベルトスキームが生成的に被約でない既約成分を持つための十分条件を与えた。特にEF3の種数が6,9,13の場合に非被約成分の存在を示した。さらに非特異ファノ三様体やEF3上の退化曲線の変形に関する研究を行い、曲線の変形が障害を受けるための十分条件、および曲線の小変形が（安定的に）退化するための十分条件を与えた。
3. 空間曲線のヒルベルトスキームに関するKleppe-Ellia予想に対し、曲線が2次的正規な場合の証明を完成させた。さらに非特異3次曲面に含まれるような空間曲線に対し、変形障害を受けるための十分条件を与えた。
最終年度である令和2年度は、3.の研究成果を導出する過程において自身の以前の結果に誤りを発見し、修正論文を発表した。
|
Research Products
(4 results)
