2018 Fiscal Year Research-status Report
The Lie structure of the complete Hochschild cohomology
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17K05211
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
眞田 克典 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 教授 (50196292)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 代数学 / 環論 / ホッホシルトコホモロジー / リー代数構造 / Gerstenhaber構造 / Batalin-Vilkovisky構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
多元環のホッホシルトコホモロジー環のリー代数構造はGerstenhaber構造と呼ばれ、これまで、それに加え、-1次の作用素(BV作用素)の存在に関する研究が進められてきており、多元環によっては、リー・ブラケットがこの作用素で表現できることが知られています。この構造は Batalin-Vilkovisky構造(BV構造)と呼ばれます。BV構造は多元環の表現論においてその重要性が認識されています。
研究の出発点としての対称多元環のホッホシルトコホモロジー環はBV構造をもつことが知られており、次の目標として、その一般化であるフロベニウス多元環のホッホシルトコホモロジー環はBV構造をもつか、という問題があります。すでに、中山自己同型が対角化可能であるフロベニウス多元環に対しては、そのホッホシルトコホモロジー環がBV構造をもつことが示されています。
本研究課題の主要な目標は、以上を踏まえて、フロベニウス多元環に対してコホモロジーを全次元に拡張した完備ホッホシルトコホモロジー環における、いわゆる完備BV構造の存在性を研究すること、また具体的でかつ応用上重要なフロベニウス多元環に対するBV構造を決定することです。
本年度は東京理科大学大学院修士課程の臼井智氏（現在 博士後期課程）、同大学助教の板垣智洋氏との共同研究によって、中山自己同型が対角化可能であるフロベニウス多元環の完備ホッホシルトコホモロジー環にBV作用素が構成でき、また自己移入的中山多元環の具体例について、BV作用素を具体計算し、それを用いたリー・ブラケットの計算も可能となりました。
また、BV構造の計算例として重要な自己移入的中山多元環のホッホシルト拡大の箙多元環に関しては、同大学奨励研究員（現在 長岡工業高等専門学校）の鯉江秀行氏、助教の板垣氏と共同で研究に取り組み、成果を国際学会で発表しました。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
完備ホッホシルトコホモロジー環におけるBV構造の一般論の研究は、臼井智氏、板垣氏と共同で進めており、中国・北京国際数学センターのZ. Wang氏による特異圏上で定義されるテイトホッホシルトコホモロジーの研究を発展させて、中山自己同型が対角化可能であるフロベニウス多元環の完備ホッホシルトコホモロジー環に、ホモロジーのコンヌ作用素の拡張としてのBV作用素を構成できるという結果を得ました。同時に、自己移入的中山多元環を例として具体的にBV作用素を求め、リー・ブラケットを計算することもできました。これらは、昨年提示した研究計画を一部上回る成果と言ってよく、通常のホッホシルトコホモロジーに関しては中山自己同型が対角化可能なフロベニウス多元環に対してBV構造が構成できるという現時点での最良の結果を踏まえると、それを完備版に拡張できたことは意義ある成果と考えています。臼井氏はこれらの成果の一部を中国・上海での国際研究会で発表しました。
一方で、対称多元環ではないフロベニウス多元環のBV構造の重要な計算例の対象となる自己移入的中山多元環のホッホシルト拡大の箙多元環の表示に関する研究成果は、鯉江氏によって、「On presentations of Hochschild extension algebras for a class of self-injective Nakayama algebras（共著者：鯉江、板垣、眞田）」として、2018年8月にチェコ・プラハで開催されたICRA2018で発表され、多くの質問を受けるなど関心を持たれました。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、完備ホッホシルトコホモロジー環におけるBV構造の研究において、フロベニウス多元環の中山自己同型が対角化可能であるという条件をどのように緩めるかという問題、および多元環のホッホシルト拡大に対してのBV作用素の具体例の研究を主要な目標とします。
前者に関しては、中山自己同型の固有値に関する問題であり、現状の対角化可能という条件を、一般固有空間を取り扱うことで拡張が可能かどうかの研究を行います。
後者に関しては、これまでの研究で得られた自己移入的中山多元環のホッホシルト拡大の箙表示を利用して、その完備ホッホシルトコホモロジー環のBV作用素の具体的な構成方法について研究します。
これらの研究成果は、2019年度の日本数学会の他、環論および表現論シンポジウムなどで報告する予定です。
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| Causes of Carryover |
チェコ・プラハへの国外旅費が予定していたよりも低い額で済んだ。
(使用計画) 国内で開催される「代数学シンポジウム」、第１９回名古屋国際数学コンファレンス（第５２回環論および表現論シンポジウム、第８回日中韓環論国際シンポジウムの合同開催）などへの旅費として53万円、他に、学会参加費、本研究課題に関連する書籍および電子機器備品等として14万円を計上します。
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