2018 Fiscal Year Research-status Report
4次元3次超曲面上の層のモジュライと既約シンプレクティック多様体
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17K05212
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
永井 保成 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (50572525)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 代数幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
引き続き，4次元3次超曲面上の層のモジュライ，特に，正規有理5次曲線に関連する層の性質の研究を行っている．当初は，正規有理5次曲線に台を持つ安定層のモジュライ空間Mの上にある普遍族に対し，Kuznetsov圏への射影を行ってできる族に付随する行列式直線束を調べることで，Mから滑らかな射影代数多様体であって代数的シンプレクティック形式を持つものXへの射M->Xを構成するというのが本研究のプログラムであった．しかし，左変異の合成として書ける射影関手を用いる限り，普遍族の射影から定まる行列式直線束は固定部分を持つことが判明し，この固定部分を取り除いて射M->Xを作る必要があったが，行列式直線束から固定因子を取り除いた直線束を層の普遍族と関連付けて議論することは，枠組み的にも技術的にも困難であり，大きな障害になることがわかっていた．
そこで，考え方を替えて，Kuznetsov圏への射影関手をべつのものに取り替えることにしたところ，この関手に関する普遍族の射影に対応する行列式直線束は固定部分をもたないことが，計算機代数を用いた計算によってわかってきた．更に，元の正規有理5次曲線と関連する安定層が大域切断で生成されていれば，その層に射影関手をほどこしたものは常に階数9のねじれのない連接層になることが証明できた．行列式直線束にたくさん切断があるという事実は，射影してできた層の安定性を強く示唆しており，このことにより，元々構成したかった空間Xは4次元3次超曲面上のある種の階数9のねじれのない安定連接層のモジュライ空間として実現されるらしいことがわかってきた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
射影関手のとり方を変えることによって，普遍族の射影がより良い性質を持つことを発見したのは大きな進展であった．このことにより，証明すべき定理の結論が明らかとなり，技術的な部分の証明を残すのみとなった．より具体的には，構成したい空間Xが通常の安定層のモジュライ空間として実現されると予測されることから，議論・証明に用いることができる技術的手法の範囲が確定したことが何よりも大きな成果であったといえる．とはいえ，これらは全て現時点では予想であるので，証明を完成させるまで，まだ解決すべき問題はいくつか残されている．以上を勘案して，当初の研究計画に照らしても，概ね順調に進展しているとするのが妥当である．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでは，考えている問題の枠組みの中で起こる現象がどのようなものであるかについて調べている段階であったのに対し，昨年度の研究の成果によって，この研究で証明すべき定理の結論・主張が具体的に明確になったこ．このことによって研究の焦点は，それらの主張をいかにして証明するかという点に転換した．安定層とそのモジュライの取り扱いについては，多くの先行研究があり，様々な技術的手法が知られていることから，これらの既存の研究・テクニックを参照しながら，最終的な結論の証明を導いていくのが今後の研究の方向性である．
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| Causes of Carryover |
共同研究者のいるドイツ・マインツへの海外出張が3月末から年度をまたいで4月までであったので，この出張旅費は2019年度の支出として計上することにした．このため残額繰越が生じた．この出張で，直ちにこの次年度使用額は消化される．
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