2019 Fiscal Year Annual Research Report
Moduli of sheaves on a cubic fourfold and irreducible symplectic manifolds
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17K05212
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
永井 保成 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (50572525)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 代数幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度までの研究で，4次元3次超曲面上の正規有理5次曲線に関連するヒルベルト多項式が5n+2の連接層に対して，それがもし大域切断で生成されれば，ある特定の Kuznetsov 射影を行ったものはつねに階数9のねじれのない連接層になり，さらに，元の層の台が滑らかな有理曲線になるものについては，射影してできる層がμ-安定になることがわかっていた．しかし，この1次元捻れ層の退化の様子を調べていくと，大域切断で生成されない層がモジュライ空間の境界の点として現れることがわかった．また，このような点では，普遍層に対して相対的な Kuznetsov 射影を行った族の行列式直線束が固定点を持ちそうであることが，計算機代数による検討で判明した．大域切断で生成されないような例は，その台が3次元の射影部分空間，従って，元の4次元3次超曲面の線形切断として得られる3次曲面に乗っている場合に作られる．さらに考察を進めていくと，3次曲面上に台が乗るようなものに対応する点の軌跡B全体で，行列式直線束は固定点を持つことを，最終的には普遍族を用いた交点数の計算によって理論的に示すことができた．
Kuznetsov 圏の対象のモジュライ空間の存在を信じるならば，このことは，Bに沿った小さな双有理改変を行う必要があることを示唆する．このような双有理改変を実現するモジュライ関手の変更は一般には記述が難しく，今のところよい記述がみつかっていない．そこで，軌跡Bのより具体的な記述を求めることで，想定される双有理改変を構成することを考えた．その結果，Bにはquiverの表現に対応するモジュライ空間による良い記述が存在することがわかってきた．このようなGITモデルの詳細な研究はなおも進行中であるが，3次曲面上の5次の有理曲線のモジュライのコンパクト化の問題はそれ自身非常に興味深い古典的な問題でもある．
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