2017 Fiscal Year Research-status Report

ミラー対称性とモジュライ空間の幾何学の関連の理解の深化

Research Project

Project/Area Number	17K05214
Research Institution	Hokkaido University
Principal Investigator	秦泉寺雅夫北海道大学, 理学研究院, 准教授 (20322795)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2022-03-31
Keywords	ミラー / 擬写像 / トーリック多様体 / チャウ環 / コンパクト化
Outline of Annual Research Achievements	今年度は、英文による著書「classical mirror symmetry」の執筆に大幅な時間を割いた。これは、古典的ミラー対称性の理解に必要な背景知識、古典的ミラー対称性の仮説に基づいたグロモフ-ウィッテン不変量の計算の手順、および私の近年の研究成果である、古典的ミラー対称性による計算過程を擬写像のモジュライ空間の観点から再構成する結果をまとめたものである。本は、２０１８年５月に出版される予定である。後、長年の懸案であった、複素射影空間内の超曲面のミラー対称性の計算において鍵となる、ミラー変換の公式の幾何学的証明の概略をプレプリントとして発表した。この論文においては、これまでの方針であったコンチェビッチの固定点定理を用いた煩雑な計算による証明を押し通す事をやめ、擬写像のモジュライ空間の交点数を計算する際に現れるexcess intersectionの寄与を摂動空間を導入することにより評価するという方針を導入し、極めて簡潔なミラー変換の導出の方針を提示した。ただし、この論文に関しては、証明で導入した摂動空間に対する厳密な議論をする必要があり、隙のない議論を完成するにはもう少し時間が必要かもしれない。また、齋藤逸人氏と共同で、２点付きCP^1から重み付き射影空間P(1,1,1,3)への擬写像のモジュライ空間のチャウ環を決定し、そのモジュライ空間の交点数の母関数が楕円曲線のj関数の逆関数に一致する事を証明する結果をプレプリントとして発表した。この論文において用いた擬写像のモジュライ空間の交点数を初等的な留数積分を用いて計算する手法は、交点数がミラー対称性の計算に用いられる超幾何関数の展開係数に一致する事の簡潔な証明を与える。この手法は、前述した著書でも取り上げたが、今後広い応用が期待される。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 著書を完成させた事とミラー変換の証明について進展があった事を考え合わせると、上の評価をして良いと言える。
Strategy for Future Research Activity	ミラー変換の証明に用いている摂動空間の議論の厳密化、および擬写像のモジュライ空間のトーリック幾何学を用いて構成する手法を、広い範囲に一般化する事を目標とする。
Causes of Carryover	博士論文の指導と著書の執筆に時間を取られ、出張旅費を使う機会がなかった事が原因である。今後は、精力的に研究発表の機会を持ちたい。