2019 Fiscal Year Research-status Report

ミラー対称性とモジュライ空間の幾何学の関連の理解の深化

Research Project

Project/Area Number	17K05214
Research Institution	Hokkaido University
Principal Investigator	秦泉寺雅夫北海道大学, 理学研究院, 准教授 (20322795)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2022-03-31
Keywords	複素幾何 / 複素構造の変形 / トーリック幾何学 / 経路積分 / ボットの留数定理 / オイラーの五角数定理
Outline of Annual Research Achievements	今年度の主な成果としては、サイエンス社から「物理系のための複素幾何入門」という専門書を出版したことが挙げられる。これは、ミラー対称性の研究の前提となる複素幾何の知識を解説したもので、今後この分野の研究を目指す人々の助けとなる事を期待している。また、私が以前構成した2点付きCP^1からCP~1×CP^1への擬写像のモジュライ空間について、厳密なトーリック多様体としての定義を与え、コンパクトなオービフォールドである事を厳密に証明する論文を院生に書かせるよう指導した。これは、直接私の実績となる仕事ではないが、今後このような形の仕事は増えていくであろう。その他、学生指導の一環として、ボットの留数定理を経路積分を用いて証明する論文とオイラーの五角数定理とその拡張をコホモロジー的観点を用いて証明する論文をプレプリントの形で発表した。今後は、高い種数のグロモフ‐ウィッテン不変量に関するミラー対称性におけるBCOV公式を擬写像のモジュライ空間の観点から再構成する研究に力を入れて行きたいと思っている。これについては、Kim, Ciocan-Fontainineらの先行研究を調べるとともに、９０年代の位相的2次元重力理論の研究成果を洗い直すことが重要であると考えている。またBCOV理論の基礎となっている種数１の場合の New Index と呼ばれていた不変量の共形場理論の観点からの洗い直しも鍵になると思われる。以上の先行研究の精査と私の構成との接点を探る事で研究の端緒をつかみたいと思っている。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 擬写像のモジュライ空間に関する研究は種数０のグロモフ‐ウィッテン不変量に関するミラー対称性については順調に進展している。種数１のグロモフ‐ウィッテン不変量に関するミラー対称性については、令和2年の春から落ち着いて考える時間が確保出来そうである。よって、おおむね順調と言える。
Strategy for Future Research Activity	学生指導を通じて研究を多方面に展開するとともに、種数１のミラー対称性を擬写像の観点から深めていく研究を進めたいと思っている。
Causes of Carryover	コロナウイルスの流行等の理由によりいくつかの出張が取りやめになった。残りの年度で、成果発表に努めるとともに、研究環境の整備にも科研費を使用したい。