2019 Fiscal Year Research-status Report
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17K05216
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
奥間 智弘 山形大学, 理学部, 教授 (00300533)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 複素2次元特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，複素2次元正規特異点の幾何種数などの基本的な解析的不変量と特異点の性質について考察している．2次元特異点の不変量の考察おいては，特異点解消と例外集合のトポロジーおよびサイクルのイデアル層のコホモロジーを考えることが重要である．それらのコホモロジーの次元は幾何種数以下になることが分かっているが，その詳細を知ることが一つのテーマである．本年度は，日本大学の渡辺敬一氏と吉田健一氏と次のような共同研究を行った．
対応するコホモロジーの次元が最大になるイデアルを幾何種数イデアルとよぶ．極大イデアルが幾何種数イデアルになる特異点は有理特異点の一つの一般化であり，分類が期待されるが，まだほとんど研究が進んでいない．我々は種数が3以下の非特異曲線を例外集合に持つ錘特異点 (cone singularity) に対してその分類を行った．
上で述べたイデアル層のコホモロジーの次元の値域を捉え，局所環の整閉イデアルの不変量を結び付けて考えるために，我々は2種類の正規節減数（normal reduction number）を導入した．正規節減数は特異点の分類に使えることが期待される不変量であるが，実際に計算することは困難である．錘特異点については，我々によって簡明な上限が得られていた．本年はその方法を進展させ，二つの正規節減数の相違を明確にする例を与えた．構成法として，幾何学的なものと環論的なものを与えた．
以上の結果は，2次元特異点の特異点解消から得られる不変量の研究において，新たな展開をもたらすものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度までに，Brieskorn 完全交叉特異点や斉次超曲面特異点の正規節減数について詳しい結果が得られた．応用として楕円型Brieskorn 完全交叉特異点を分類することが出来た．さらに，Brieskorn 完全交叉特異点の位相型を一つ固定して幾何種数が最大，または極大イデアルサイクルが最小となるような複素構造の特徴をとらえる研究も行っている．また，錘特異点については正規節減数の簡明な上限を与え，曲線のゴナリティとの関連も示された．本年度の成果と合わせて，研究はある程度進んでいる．しかし，これらの結果をより一般の特異点に拡張しなくてはならない．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度までに得られた結果の一般化や精密化を進めたい．まず，正規節減数の公式をより広い範囲の特異点に対して与えること，正規節減数と幾何学的性質の関連をより詳しくとらえることを目標とする． さらに，極大イデアルサイクルが最小性になる，また幾何種数や正規節減数が上限に一致するような複素構造を基本的な特異点の位相型に対して考察し，その特徴をとらえる．
これらの研究を引き続き渡辺氏と吉田氏と共に進め，ヨーロッパの研究者との連携も再開したい．状況が許せば，関連する研究集会に参加して新しい知見と研究動向を学びながら研究を進めたい．
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| Causes of Carryover |
研究集会の中止が相次ぎ，出張を取りやめることがあったために残額が生じた．
次年度も研究成果の発表と共同研究，研究交流のために旅費を使用し，必要な文献を入手する．
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