2018 Fiscal Year Research-status Report

Existence problem of conformally Kahler Einstein-Maxwell metrics

Research Project

Project/Area Number	17K05218
Research Institution	Saitama University
Principal Investigator	小野肇埼玉大学, 理工学研究科, 准教授 (70467033)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2022-03-31
Keywords	共形ケーラーアインシュタイン・マックスウェル計量
Outline of Annual Research Achievements	本研究の目的はApostolov-Maschlerにより定義された共形ケーラーアインシュタイン・マックスウェル計量（以下cKEM計量と呼ぶ）の存在問題を、従来のケーラー幾何の手法に加え、佐々木幾何の研究において培った視点に基づき進展させることである。平成３０年度は次の結果を得た（二木昭人氏（清華大学）との共同研究の結果である）：（１）ヒルツェブルフ曲面の場合にcKEM-二木不変量が消える新たな例を我々は昨年度発見したが、その例においてcKEM計量が実際に存在するかどうかは未解決であった。そこで我々はそのcKEM版のK-安定性を確かめるため、cKEM版のDonaldson-二木不変量を数値計算した。その結果、全ての単純トーリックテスト配位についてcKEM版Donaldson-二木不変量は正になることが確かめられた。この計算結果とApostolov-Maschlerによる結果を合わせると、今まで知られていなかったcKEM計量の存在が言える。（２）cKEM計量は複素2次元におけるアインシュタイン・マックスウェル方程式の強エルミート解の高次元化の１つであるが、別のよい高次元化も存在することが知られている。（藤木-Donaldson型のモデルを通して定式化される）その別の高次元化に対しても二木型不変量が「体積関数」の第一変分に等しいことを示した。（３）cKEM計量の「extremal」版を考えることができることも知られているが、任意の次元においてその具体例を無限個構成した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 当初の計画では、トーリック曲面において、cKEM二木不変量が消える正則ベクトル場の特定およびcKEM二木不変量が消えるならばcKEM計量が存在するかどうかを調べる予定であった。後者に関しては、ヒルツェブルフ曲面に対してcKEM版のK-安定性およびApostolov-Maschlerの結果を通して、数値的にではあるが、解明できた。また、cKEM計量とは別の高次元化についても体積最小性を用いた我々の手法が有用であることを証明することができた。
Strategy for Future Research Activity	まず、平成30年度に解決できなかった問題（トーリック曲面においてcKEM二木不変量が消える正則ベクトル場を特定すること）に引き続き取り組む予定である。また、cKEM計量とは別の高次元化とextremal佐々木計量の関連が指摘されており、我々の以前の研究結果（トーリック佐々木・アインシュタイン計量の存在）を深化させる研究にも取り組みたい。
Causes of Carryover	今年度は、当初予定より出張回数が少なく当該研究費が生じた。次年度は、研究集会出席に使用する旅費に加え、共同研究者（二木昭人氏（清華大学）、佐野友二氏（福岡大学））との研究打ち合わせも予定しており、その旅費として支出を予定している。また、Windows7搭載のパソコンを一部使用中のため、新たにパソコンを購入する予定である。