2019 Fiscal Year Research-status Report

Existence problem of conformally Kahler Einstein-Maxwell metrics

Research Project

Project/Area Number	17K05218
Research Institution	Saitama University
Principal Investigator	小野肇埼玉大学, 理工学研究科, 准教授 (70467033)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2022-03-31
Keywords	共形ケーラーアインシュタイン・マックスウエル計量
Outline of Annual Research Achievements	本研究の目的は、Apostolov-Maschlerにより定義された共形ケーラーアインシュタイン・マックスウェル計量（以下cKEM計量と呼ぶ）の存在問題を、従来のケーラー幾何的な手法に加え、佐々木幾何の研究により培った視点に基づき進展させることである。令和元年度は次の結果を得た（二木昭人氏（清華大学）との共同研究の結果である）：藤木-Donaldsonによる無限次元モーメント写像によるモデルは、今まで様々な幾何学的に意味のある偏微分方程式たち（例えばスカラー曲率一定ケーラー計量）に適用され、重要な構造定理や不変量、予想などを導いてきた。我々の主たる研究対象であるcKEM計量（およびそのさらなる一般化）は藤木-Donaldsonによるモデルを適用できるため、自然にいくつかの予想が得られる。そのうちの1つに松島-LichnerowiczやCalabiによる正則自己同型群の構造定理があった。我々は、藤木-Donaldsonのモデルをもとに、cKEM計量をさらに一般化したf-extremal計量の概念を導入し、f-extremal計量の存在が、偏極多様体の正則自己同型群に特定の構造を導くことを証明した。その1つの応用として、cKEM計量が存在するためには、正則自己同型群の不変部分群が簡約群でなければならないことを示した。同時期にLahdiliによりこの結果が示されたが、彼の証明法はLichnerowicz型作用素を具体的に求め、Calabiたちの議論に従うという方法であった。我々の方法では、直接Lichnerowicz型作用素を求める必要がなく、よりすっきりした証明が与えられる。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 当初の計画では、本年度は主に「トーリック曲面でcKEM二木不変量が消えるベクトル場を特定する」と「cKEMにおける松島-Lichnerowicz型の定理の証明」が目標であった。本年度の研究では、そのうちの1つを完全に解決することができた。
Strategy for Future Research Activity	まず、令和元年度に解決できなかった課題（トーリック曲面においてcKEM二木不変量が消える正則ベクトル場を特定すること）に引き続き取り組む予定である。また、当初研究を予定していたcKEM計量の存在とK-energyとの関連が、最近、より一般の計量に関して解明されつつある。その中で用いられる議論に不明な点が多々あり、その解明のための研究も行う。
Causes of Carryover	今年度は、当初より出張回数が少なく当該研究費が生じた。次年度は、パソコンおよび書籍を多く購入する予定である。